杜超雄 刘灿辉

【摘要】无穷和式极限是大学生学习高等数学时较难理解的一个基本且重要的知识点，其形式复杂，解法多样，学生不易掌握.本文结合实例给出了利用定积分求解无穷和式极限的常用方法并加以拓展.同时，考虑到教学课时数的限制，以“定积分概念求无穷和式极限”为例，本文还阐述了线上线下混合式教学内容的适度构建问题.

【关键词】定积分定义;无穷和式;线上线下教学内容构建

【基金项目】该研究受湖南省教改项目（项目编号：湘教通〔2019〕291号1144）资助和湖南省教育厅重点项目（18A525）资助

大学本科理工类学生在学习高等数学时，往往觉得学习难度较大.究其原因，一方面可能是由于高等数学类课程的开设课时不足，教师在授课时无法像中学一样对教材上的概念和定理等深入讲解，以至于自学能力较差且已经对课堂教学形成一定依赖性的学生对部分知识的学习不深不透、一知半解;另一方面，可能由于部分大学数学教师对于课堂教学外学法的过多引入，导致学生学习知识的体系无法有效构建，从而使学习兴趣不断衰退.陈宝生部长在全国教育大会上提到“以本为本”，大学教师更应以学生为中心，将教学时刻放在心上，以提高学生的水平和能力为己任.大学数学教师要激发学生的学习兴趣，对学生进行学法指导，第一，指导学生有效阅读教材和做好课外习题.第二，引导学生开展网络学习.第三，引导学生参阅好的课外参考资料以图从中吸取养分来作为课堂教学的有益补充.当下教育部门提倡教师开展课堂教学改革，构建网络课程，开展线上线下教学活动，这将有利于学生对于知识更好地掌握和消化乃至拓展.对于线上线下混合式教学的讨论，很多文献进行了论述.如王皓，林海燕认为线上教学有效突破了时间和空间的限制，能实现教学效果最大化.李建荣和章劲鸥分别对线上线下混合式教学和翻转课堂进行了探究.

如何有效构建课堂教学外的网络教学知识体系是一个值得研究的问题.从很多网络课程所展示的内容来看，大部分课程看起来似乎很完整，每章每节的内容都全部展示出来，细细想来，这是课堂教学的重复还是代替学生做了一个完整的笔记？个人认为，网络学习的部分应该以巩固、提高、拓展知识、提高解决问题的能力和激发学生学习兴趣为目的.

下面以教材为例来说明一下线上线下内容的构建，以供同行讨论.

一、利用定积分概念求无穷和式的课堂教学内容

在有限的教学时间内，课堂教学的内容一般以教材为范本.对于《数学分析》教材中关于利用定积分的定义求无穷和式极限的课堂教学可以如下展开.

第一步，先展示定积分定义.“利用定积分的定义求无穷和式极限”应该是在学习完定积分定义后讲述的，因此先展示一下定积分定义可以起到复习和巩固的作用，还可以为接下来的教学起到承前启后的作用，对于定义可以使用PPT展示.

定积分的定义：设f（x）是定义在[a，b]上的一个函数，在闭区间[a，b]内插入n-1个点，依次为a=x0

第二步，结合定积分定义讲解例题.教材上的例题如下：

例1 计算：limn→∞1n+1+1n+2+…+12n.

解 limn→∞1n+1+1n+2+…+12n=limn→∞1n11+1n+11+2n+…+11+nn，

接着考虑f（x）=11+x在[0，1]上的定积分，将[0，1]n等分为0<1n<2n<…

Δxi=in-i-1n=1n，λ=1n→0n→∞，取ξi=in∈[xi-1，xi]即i-1n，in，则

limn→∞1n+1+1n+2+…+12n=limn→∞1n11+1n+11+2n+…+11+nn

=∫1011+xdx=ln 2.

第三步，总结与反思.其一是总结一下如何构造定积分，被积函数怎么找;其二是反思为什么要这么找.

这第三步往往是教学环节中最重要的，也是最吸引学生进一步探究兴趣的关键一环，但是课堂教学时间有限，很难很好地完成这一步.因此，不少教师在日常的教学中只是简单地总结与归纳，更不用说进一步拓展了.

二、利用定积分概念求无穷和式的线上（或拓展）教学内容

线上线下混合式教学的关键在于线上线下混合式教学管理目标是否可以达成，效果是否明显.这对教师完善教学内容、提高教学水平起着积极的导向作用.教师要界定哪些内容适合线上的教学，哪些内容适合线下的教学.线上教学部分应能增加学生课前自主预习的时间、增加学生对知识的好奇心、求知欲，能吸引学生课后进一步对所学知识进行消化和巩固.线下教学部分应能通过师生面对面的形式在有限的课堂时间使学生充分掌握重难点知识，且对学生线上学习产生的疑问面对面解答，引导学生学习更多的专业知识，这从某种意义上讲是对于线上内容的构建提出的一些要求.

就“利用定积分概念求无穷和式极限”而言，我们可以设计如下教学内容，线上教学内容的讲述可以录制视频.

1.展示定积分定义

为了很好地讲述“利用定积分概念求无穷和式极限”，对定积分的定义的巩固与复习是十分必要的.

2.利用定积分定义构造无穷和式

利用定积分定义求无穷和式，不必先展示要求的习题，而是可以以某个函数的定积分入手构造无穷和式的极限问题，同时在此基础上结合其他知识点对求无穷和式的极限问题不断拓展.下面我们以f（x）=11+x在[0，1]上的定积分为例来引导学生构造一系列的无穷和式问题，以激发学生探究问题的兴趣.

例2 将[0，1]n等分，请写出∫1011+xdx的定义表达式.

解 将[0，1]n等分，则Δxi=in-i-1n=1n，λ=1n→0n→∞，任意取ξi∈i-1n，in，则 ∫1011+xdx=limλ→0∑ni=1f（ξi）Δxi=limn→∞1n∑ni=111+ξi.

以例2为基础，从上面表达式的最右端入手可以让学生根据ξi的任意性来构造无穷和式，可以布置如下拓展性练习.

练习1 根据ξi的任意性写出一些无穷和式.

该练习是一种发散式练习，教师可以引导学生去完成，引导学生取i-1n，in的左端点、右端点和介于左右端点之间的某一点.这样就产生了一些无穷和式的极限问题了，如：

练习1.1 limn→∞1n∑ni=111+i-1n=limn→∞1n+1n+1+…+12n-1.ξi取i-1n，in的左端点得到的极限式

练习1.2 limn→∞1n∑ni=111+in=limn→∞1n+1+1n+2+…+12n.ξi取i-1n，in的右端点得到的极限式

练习1.3 limn→∞1n∑ni=111+i-1n+12n=limn→∞1n+12+1n+32+1n+52+…+1n+2n-12.ξi取i-1n，in的左右端点的中点得到的极限式

练习1.4 limn→∞1n∑ni=111+i-1n+1n2=limn→∞1n+1n+1n+1+1n+1n+2+1n+…+12n-1+1n.ξi取i-1n+1n2∈i-1n，in得到的极限式

练习1.5 limn→∞1n∑ni=111+i-1n+1ni+1=limn→∞1n+1n2+1n+1+1n3+1n+2+1n4+…+12n-1+1nn+1.ξi取i-1n+1ni+1∈i-1n，in得到的極限式

教师通过对定积分定义中ξi的任意性的系列练习的构造，激发了学生探究的兴趣.这类教学需要课外时间方可完成，因此适合于网上展示或者以兴趣小组辅导的形式展示.

练习2 证明：对于任意的正整数n，有1n+1+1n+2+…+12n

可以提示学生认识到左边当n趋向于无穷时为例1中的积分，其值为ln 2，而上式左边仅为其中一部分，还可以进一步利用上面的练习1.1-1.5构造相似的不等式.

练习3 求极限limn→∞1nnn（n+1）（n+2）…（2n-1）.

分析该题为无穷乘积，教师要引导学生将无穷乘积转化为无穷和式，即取对数.

开展高等数学线上线下混合式教学，学生的参与度与认可度会有较大提高，但是切不可随意构造线上内容，不可简单重复课堂教学内容.教师要有效构建网上学习和讨论的内容，并进行网络学习监测与学习考察，大多数学生都能配合教师较好地完成线上的任务，这样不仅能提高课堂的学习效果，也能提高学生的学习成绩.

【参考文献】

[1]王皓，林海燕.基于过程数据的线上线下混合式教学评价研究[J].智库时代，2019，（50）：201-202.

[2]李建荣.线上线下混合式教学探索与实践[J].教育教学论坛，2019（37）：164-165.

[3]章劲鸥.基于翻转课堂的高等数学混合式教学的实践与探索[J].宁波教育学院学报，2018（6）：98-101.

[4]复旦大学数学系编.数学分析（第四版）[M].北京：高等教育出版社，2018.

[5]同济大学数学系编.高等数学 （第七版） [M].北京： 高等教育出版社，2018.