梁王海

【摘要】含参的不等式恒成立问题一直是各级各类考试中比较常见的题型之一，它创新性强，背景各异，形式多样，类型众多，切入点深，且往往难度较大，不可一蹴而就.此类问题能合理综合函数、不等式、导数等相关知识，渗透化归与转化思想、函数与方程思想、分类讨论思想，以及其他数学思想等，能有效考查数学知识与数学能力，具有很强的区分度与选拔性.

【关键词】不等式;函数;恒成立;分类讨论;导数;极值点

含参的不等式恒成立问题一直是各级各类考试中比较常见的题型之一，它变化多端，题型新颖，可以以小题（选择题或填空题）的形式出现，也可以是大题（解答题）的一个组成部分.此类问题能合理综合函数与方程、不等式、导数等相关知识，有效渗透化归与转化思想、函数与方程思想、分类讨论思想，以及其他数学思想等，也能有效考查数学知识、数学方法与数学能力，具有很强的区分度与选拔性，一直备受各类命题者的青睐.

一、问题呈现

【问题】（2020年1月江苏省盐城市、南京市2020届高三年级第一次模拟考试·14）若对任意实数x∈（-∞，1]，都有不等式exx2-2ax+1≤1恒成立，则实数a的值为.

本题通过给定自变量的定义域，利用含参的绝对值不等式恒成立为问题背景，进而确定对应参数的取值问题.问题题干短小精悍，简洁易懂，但含参的绝对值不等式中带有分式，且较为复杂，包括指数函数与二次函数.如何抓住切入点，合理化归与转化，去掉绝对值符号，变形为较为熟知的不等式或基本初等函数的复合形式是破解问题的关键所在.结合具体问题特征，可以通过分类讨论思想与导数性质等思维方式来分析与处理.

二、问题破解

思维视角一：分类讨论思想

方法1：（分类讨论法1）

解析：原题目等价转化为：对任意实数x∈（-∞，1]，都有不等式x2-2ax+1ex≥1恒成立.

构造函数f（x）=x2-2ax+1ex，求导可得f′（x）=-x2+（2a+2）x-2a-1ex=-（x-1）[x-（2a+1）]ex.

①当2a+1≥1，即a≥0时，f′（x）≤0，此时函数f（x）在（-∞，1]上单调递减，

若f（1）≤0，则|f（x）|的最小值为0，与|f（x）|≥1恒成立矛盾;若f（1）>0，要使|f（x）|≥1恒成立，则f（1）=2-2ae≥1，解得a≤1-e2，与a≥0矛盾.

②当2a+1<1，即a<0时，此时函数f（x）在（-∞，2a+1）上单调递减，在（2a+1，1）上单调递增，

此时f（x）min=f（2a+1），若f（2a+1）≤0，则|f（x）|的最小值为0，与|f（x）|≥1恒成立矛盾;若f（2a+1）>0，要使|f（x）|≥1恒成立，则f（2a+1）=2a+2e2a+1≥1，

令2a+1=t<1，不等式2a+2e2a+1≥1等价转化为et-t-1≤0，

构造函数g（t）=et-t-1，求导可得g′（t）=et-1，

则函数g（t）在（-∞，0）上单调递减，在（0，1）上单调递增，故当t=0时，函数g（t）有最小值为g（0）=0，则有g（t）≥g（0）=0.

而以上要解的不等式是g（t）≤0，所以有g（t）=0，可得2a+1=t=0，解得a=-12.

综上分析，可得a=-12.故答案为：-12.

方法2：（分类讨论法2）

解析：依题意可得对任意实数x∈（-∞，1]，都有不等式-1≤exx2-2ax+1≤1恒成立.

构造函数f（x）=exx2-2ax+1，求导可得f′（x）=ex（x-1）（x-2a-1）（x2-2ax+1）2，

若方程x2-2ax+1=0的判别式Δ=4a2-4≥0，则方程x2-2ax+1=0有解，设其中一个解为x1，则当x→x1时，|f（x）|→+∞，不满足|f（x）|≤1恒成立，则有Δ=4a2-4<0，解得-1

①当2a+1<0，即-11，不满足题意;

②当2a+1>0，即a>-12时，记1，2a+1中的较小值为x0，则函数f（x）在（-∞，x0）上单调递增，由f（0）=1可得f（x0）>f（0）=1，不满足题意;

③当2a+1=0，即a=-12时，f（x）在（-∞，0）上单调递增，在（0，1）上单調递减，则f（x）≤f（0）=1，f（x）=exx2-2ax+1>0，则|f（x）|≤1恒成立.

综上分析，可得a=-12，故答案为：-12.

方法3：（分类讨论法3）

解析：依题意可得对任意实数x∈（-∞，1]，都有不等式-1≤exx2-2ax+1≤1恒成立，

构造函数f（x）=exx2-2ax+1，

求导可得f′（x）=ex（x-1）（x-2a-1）（x2-2ax+1）2.

若方程x2-2ax+1=0的判别式Δ=4a2-4≥0，则方程x2-2ax+1=0有解，设其中一个解为x1，则当x→x1时，|f（x）|→+∞，不满足|f（x）|≤1恒成立，则有Δ=4a2-4<0，解得-1

①当-1

而由-1

而根据重要不等式ex≥x+1（x∈R）转化可得e2a+1≥2a+2，

则知e2a+1=2a+2，等号成立时有2a+1=0，解得a=-12.

②当0

综上分析，可得a=-12.故答案为：-12.

点评：通过不同方式构造函数，结合相应的函数进行求导，利用参数a的不同取值范围进行合理的分类讨论，结合含参的不等式恒成立的条件来分析与处理，从而得以确定相应的参数值.不同的函数构造以及不同的参数分类标准，可以产生不同的破解方法与解题过程，从而得到不同思维与视角破解问题的方法.

思维视角二：导数性质

方法4：（极值点判定法）

解析：构造函数f（x）=exx2-2ax+1，求导可得f′（x）=ex（x-1）（x-2a-1）（x2-2ax+1）2.

而当x=0时， f（x）max=f（0）=1，对于任意实数x∈（-∞，1]，x=0不在端点，

则知x=0是函数f（x）的极值点，即在x=0处，f′（0）=e0（0-1）（0-2a-1）（0-0+1）2=0，

解得a=-12.故答案为：-12.

点评：巧妙利用导数的性质，抓住函数的特殊值[f（0）=1]，并利用函数在极值点处的性质来“秒杀”，从而快速有效破解问题.在破解一些与函数的性质有关的问题时，经常借助极值点、最值点的性质特征来分析与处理，从而达到有效破解的目的.这里抓住极值点处的性质的应用来处理，有一定的投机取巧，在选择题或填空题中可以快速破解问题，在解答题中慎重使用.

三、变式拓展

探究：保留问题的部分条件，改变不等式恒成立中的参数位置，结合不等式在给定区间上恒成立的条件来确定参数的取值问题，难度比原来问题简单，方便操作，易于求解，得到以下对应的变式问题.

【变式】若对任意实数x∈（-∞，1]，都有不等式exx2+x+1≤a恒成立，则实数a的最小值为.

解析：构造函数f（x）=exx2+x+1，则知f（x）>0恒成立.

求导可得f′（x）=exx（x-1）（x2+x+1）2，令f′（x）=0，解得x=0或x=1.

当x<0时，f′（x）>0，则知函数f（x）在区间（-∞，0）上单调递增;

当0<x<1时，f′（x）<0，则知函数f（x）在区间（0，1）上单调递减.

故f（x）max=f（0）=1，则有a≥1，即实数a的最小值为1.故答案为：1.

点评：去掉绝对值符号，转化为熟悉的函数，直接利用函數的构造与求导，通过确定导函数的零点以及导函数的正负取值情况来确定函数的单调性，进而确定函数在给定区间上的最大值，从而确定参数的最小值.

四、解后反思

含参的不等式恒成立问题创新性强，背景各异，形式多样，类型众多，切入点深，且往往难度较大，不可一蹴而就.破解此类问题时，要从恒成立的不等式入手，结合题目条件，等价化归与转化为较为熟悉的不等式或基本初等函数问题，再利用相应的不等式或基本初等函数，借助转化法、分类讨论法、不等式性质法、导数法或数形结合法、待定系数法等相应的方法辅助，合理构造，适度切入，巧妙转化，利用较为熟悉的数学模型来应用，从而破解含参的不等式恒成立问题.