董正武

摘 要：在《奥林匹克数学中的代数问题》一书中摘录如下一道IMO试题（见引例），这道试题是关于三元的不等式结论，笔者将这个不等式中的“元”的个数增加到任意正整数个，得到了相对完善的结论.

关键词：IMO;完善性推广;不等式

引例.设a，b，c为正实数，且满足abc=1，求证：++≥

推广1.设a，b，c，d为正实数，且满足abcd=1求证

+++≥

证明：将所证不等式的左边记为N

∵abcd=1

∴N=+++

由柯西不等式，有

∴[a（bc+bd+cd）+b（ac+ad+cd）+c（ab+ad+bd）+d（ab+ac+bc）]×N≥（bcd+acd+abd+abc）2，

故N≥

再利用算术-几何平均不等式，得N≥×4=.

推广2.设a1，a2，a3，…，an为正实数，且满足ni=1ai=1求证：

ni=1≥.

证明：∵ni=1ai=1

∴N=ni=1

=ni=1

由柯西不等式，有ni=1ai（j≠ik≠i，jak）×N

≥（ni=1j≠i，aj）2

∴（n-1）（ni=1j≠i，aj）×N≥（ni=1j≠i，aj）2

再利用算术-几何平均不等式，得

∴.N≥（ni=1j≠i，aj）≥×n

=

其中1≤i，j，k，1≤n且i，j，k，l，n∈N+.

推广3.设a1，a2，a3，…，an为正实数，且满足ni=1ai=1，求证：

ni=1≥.

证明：将3中的a1分别替换为aim（i=1，2，…n），即可得到所要证明的结论.

参考文献：

[1]沈文选等.奥林匹克数学中的代数问题[M].湖南：湖南大学出版社，2009：187—187.