王秋爽,徐 润

(曲阜师范大学 数学科学学院,山东 曲阜 273165)

分数阶微积分是关于任意阶微分与积分及其应用的理论，是牛顿-莱布尼兹整数阶微积分的推广。1987年，Samko等建立了系统的分数阶微积分及其应用理论[1]。1993年，Miller等建立了分数阶微分方程理论[2]，对几类经典的分数阶微积分算子定义均有介绍，例如Riemann-Liouville(R-L)，Caputo，Hadamard 分数阶微积分算子定义等。许多学者随后又给出了关于分数阶微积分以及分数阶微分方程理论的推广，如文献[3-6]。近年来，随着相关分数阶积分和导数新定义的不断引入和推广，关于分数阶和分和差分以及分数阶偏微分、偏差分等几类新的分数阶算子也陆续产生，极大地推动了关于分数阶微分方程定性性质的研究，如解的振动性、稳定性、解的存在唯一性等。同时由于具有各种初值或边界条件的分数阶积分和分数阶微分方程在实际问题中的广泛应用，分数阶方程理论得到了快速发展，并为解决一些复杂现实问题提供了工具。Oliveria等介绍了自分数阶微积分出现以来的一些重要分数阶积分和导数定义[7]；Teodoro等对一些重要分数阶导数定义进行了总结，并且对其之间的一些重要性质做出比较[8]。本文主要介绍了近三年所出现的分数阶积分和微分算子新定义，并比较了各不同定义之间的关系。

1 预备知识

本文所用到的符号和定义如下：

R为实数集,C为复数集,Z为整数集,N为自然数集,R(x) = {Rex|x∈C},Z-为负整数集;N-为全体非正整数集,[x]=max{z∈Z:z≤x}。

(1)阶乘幂函数

分别为上升阶乘 (递进阶乘) 和下降阶乘 (递降阶乘)。……