毋少楠，史军伟，李志新

（1.中国矿业大学电气与动力工程学院，江苏 徐州 221116；2.国网山东省电力公司东营供电公司，山东 东营 257000）

近年来，随着现代控制技术的发展，越来越多的先进控制策略被应用到永磁同步电机（permanent magnet synchronous motor，PMSM）的控制当中。其中，无差拍预测电流控制（deadbeat prediction current control，DPCC）作为一种基于模型的预测控制算法，既具有预测控制算法普遍拥有的动态响应速度快和电流谐波小等特点，同时也有着开关频率恒定、带宽高和易于数字化实现等特有优势[1]。其基本控制思想是：基于逆变器和电机的数学模型，根据本周期采样得到的电流值，预测下一拍的控制电压输出值。

由于DPCC从根本上讲还是一种基于模型的控制算法，其对模型参数尤其是电感的敏感度较高，参数失配会严重影响电流的控制效果[2]。针对此问题，文献[3]在无差拍控制的基础上，引入了基于Luenberger状态观测器的鲁棒电流控制算法，补偿电感误差和电流采样引起的相位滞后，提高了系统的鲁棒性；文献[4]采用了放松的电流偏差约束条件和平滑的输出电压预测方法，使系统在电机电感参数失配时保持稳定；文献[5]设计了扰动观测器对扰动进行估计并前馈补偿，提高了系统对参数的鲁棒性；文献[6]采用了模型参考自适应算法对电机参数进行在线辨识，减小了电机参数偏差引起的电流误差。

基于前述，设计了速度环采用PI控制器，电流环采用基于最小电流误差的DPCC控制器的PMSM双闭环控制系统。该控制系统具有DPCC策略电流控制精度高、谐波含量少的优点。同时，为了克服参数失配以及观测扰动等引起的电流控制效果降低的问题，结合自抗扰技术[7]抗扰动能力强的特点，在无差拍控制中引入了扩张状态观测器（extended state observer，ESO），观测扰动并进行补偿，大大提高了系统的参数鲁棒性和抗扰动能力。仿真及实验结果验证了所提控制策略的有效性。

1 永磁同步电机的数学模型

在同步旋转（d-q）坐标系下，PMSM的电压方程可以表示为

式中：ud，uq，id，iq分别为定子绕组的电压、电流在d，q轴的分量；Ld，Lq分别为d，q轴的电感分量；Rs为定子电阻；Ψf为永磁体磁链；ωe为转子电角速度。

对于表贴式永磁同步电机（SPMSM），有Ld=Lq=L0，式（1）也可化为如下形式：

2 基于ESO的DPCC策略

提出的基于最小电流误差的DPCC策略控制流程如图1所示。

图1 DPCC策略控制流程图Fig.1 Flow chart of DPCC

一般情况下，根据PWM逆变器开关状态生成的8种空间电压矢量（包含2个零矢量）将电压矢量圆分为6个扇区。1个采样周期内，在获得第k次电流采样后，首先根据转子位置角判断目标电压矢量所在扇区N，然后根据该扇区内3个离散电压矢量作用下电流的变化规律，构建目标函数，确定下一拍控制电压矢量，进而求解得到各个离散电压矢量的作用时间，再进行PWM调制，输出开关脉冲信号。

2.1 基于最小电流误差的DPCC策略

d-q坐标系下逆变器输出电压可由开关状态函数表示为

式中：Sa，Sb，Sc分别为逆变器三个桥臂的开关状态，上桥臂导通为1，下桥臂导通为0；θ为转子电角度。

将式（3）代入式（2）中可得8个电压矢量对应的电流变化率如下式：

在1个周期内近似认为电流变化率保持不变，则该周期内在同一个扇区对应的3个电压矢量（设为u0，u1，u2；其中u0为零矢量）作用下的总的电流变化量为

式中：t0，t1，t2分别为u0，u1，u2的作用时间。

因此可得在第k个控制周期结束时，d，q轴电流为

式中：id，k，iq，k分别为上个控制周期结束时的d，q轴电流。

DPCC的控制目标为在每个控制周期结束时d，q轴电流误差最小，可以采用最小二乘优化方法构建目标函数为

当式（7）中W取得最小值时，括号内的电流误差量也为最小值。因此，可用求极值方法求得每个控制周期中三个离散电压矢量的作用时间，其计算式为

由式（8）可求得两个非零电压矢量的作用时间t1，t2，零矢量的作用时间t0=Ts-t1-t（2Ts为单个采样周期的时间）。求得作用时间后，按照七段式PWM的调制方式即可得到每个控制周期的开关序列。

2.2 扩张状态观测器基本原理

自抗扰控制技术（auto disturbance rejection control，ADRC）是由韩京清先生基于PID控制“基于误差消除误差”的核心思想提出的先进控制技术[7-8]。

作为ADRC的核心部分，扩张状态观测器（ESO）将被控系统的外部扰动和内部扰动扩张为新的状态量——“总扰动”，并进行动态估计与反馈补偿。相较于传统观测器，ESO不需要直接测量扰动，也不必知道扰动的精确数学模型，对于参数变化较大的预测控制系统，可以提高其参数鲁棒性及抗扰性，进而提高系统的控制性能。

下面给出一阶单输入单输出系统（single input and single output，SISO）的ESO设计方法。

一阶SISO系统的状态方程如下式所示：

式中：u为输入；w（t）为外部扰动；f[x1,w(t),t]为系统总扰动函数。

将总扰动扩张为新的状态量x2，即x2=f[x1,w(t),t]，同时令，那么式（9）的新状态方程可以表示为

根据状态方程式（10），将一阶SISO的ESO构建为[7]

式中：b为控制量增益，可由被控系统参数确定；β01，β02为控制器参数；fal函数为误差非线性函数。fal函数具体表达式为

其中，参数α满足0＜α＜1时，fal函数具有小误差大增益和大误差小增益的特性。确定了合适的参数取值后，ESO就能很好地观测出状态量z2，即“总扰动”。

ESO的优势表现在：在实际的控制系统中，无需知道扰动函数f[x1，w（t），t]是否连续或者已知，只要能确定其为有界函数，且保证增益参数b已知，就可以调整到合适的β01，β02取值，进而估计出状态量z2并进行反馈补偿。

2.3 DPCC的ESO设计

2.1节所述DPCC策略中，要求得准确的电压矢量的电流变化率，需要精确的电流测量值，观测误差会导致计算偏差。同时，当电机参数发生变化时，仍使用标称值进行计算，也会导致计算结果产生偏差。结合2.2节所述，可将ESO引入控制系统中，以补偿观测误差以及参数变化带来的扰动。

d，q轴的ESO设计思路相同，对于SPMSM控制器的结构以及参数是可以通用的，下述设计方法以q轴为例进行说明。

在式（4）中，将f2=-Riq/L0-ωeid-ωeΨf/L0视为总扰动，令b=1/L0，q轴电流方程可化为

按照前述ESO设计方法，可以得到电流环的ESO如下式所示：

其中

式中：z1，z2分别为电流iq和总扰动f2的观测值。

结合式（5），将式（14）进行离散化可得：

式中：β1，β2为离散 ESO 的增益分别为k+1时刻的电流预测值和系统总扰动估计值。将进行反馈可得补偿扰动后的电流变化率：

补偿后的电流变化率再代入式（5）～式（8）进行计算，即可得到优化后的控制电压矢量。

离散ESO的结构框图如图2所示[9]。从图2中可以看出，q轴ESO与d轴ESO并无耦合关系，相互不影响。ESO闭环极点位置和增益β1，β2相关，因此β1，β2的取值会影响ESO的动态性能和稳定性。

图2 离散ESO结构图Fig.2 Discrete ESO structure diagram

2.4 ESO稳定性分析

采用文献[9]所述方法进行参数稳定性分析。由图2，在z域中q轴的ESO闭环函数为

特征方程为

通过对系统极点位置的计算，可得ESO的稳定条件为

当PMSM的参数发生变化时，参考电流和实际电流存在误差。为了实现电流的无误差跟踪，基于ESO的DPCC的电压值u（qk）要和通过式（2）计算出的控制电压u（qk）相等。式（2）和式（15）得到基于ESO的策略给定电流值和实际值关系为

式中：L为实际电感值；ωr为转子机械角速度。

当系统运行在较高的采样频率下（Ts较小）且采用id=0控制时，式（20）可以化简为

变换到z域的表达式为

其中

根据以上分析可得基于ESO的离散域传递函数为

通过以上分析，得知基于ESO的DPCC策略需要满足以下2个条件：

1）扩张状态观测器的收敛条件：0＜β1＜4，

2）离散域传递函数的闭环极点分布在单位圆内，即满足不等式：

基于 ESO的 DPCC 算法的稳定性与β1，β2，L0/L三个参数有关。首先，需要选择合适的β1，β2来保证ESO的稳定性和收敛性；然后，考虑L0/L的变化对其收敛性的影响。观察式（26）可以发现在ESO稳定的前提下，其鲁棒性强弱随着L0与L的误差的增大而增强。

下面对上述分析中参数β1，β2取值问题进行讨论。假设系统中的参数没有发生变化（L0=L）。当β2=700，β1在0～2范围内变化时，系统极点分布如图3a所示，其中，T为系统的离散步长。可以看出，当β1由0开始，以0.1为步长，逐渐增加到0.5时，系统两个极点逐渐靠拢到β1=0.5附近；当β1由0.5增加到2时，一个极点向圆心靠近，另外一个趋向单位圆。因此，0.5≤β1≤1.5时系统的控制性能更好。β1=1.5，β2由0～10 000范围内变化时，系统极点分布如图3b所示。当β2逐渐趋向10 000时，极点逐渐向圆环靠近，系统趋向不稳定状态。因此，β1=1.5，β2=700时可使控制策略具有良好的控制性能。

图3 系统闭环极点分布图Fig.3 Closed-loop pole map of system

确定使ESO处于稳定状态的β1，β2的值之后，讨论电感失配时所提策略的鲁棒性。在β1=1.5，β2=700条件下，当电感失配度在0.455≤L/L0≤5时，系统闭环极点分布如图4所示。当电感失配度在0.455≤L/L0≤ 5之间时，系统收敛；当L0＞2.2L时，系统发散。通过上述分析可以得出：基于ESO的DPCC策略具有较强的参数鲁棒性，当电感在较宽的范围内变化时，有着很好的抗扰作用。

图4 电感失配时系统闭环极点分布图Fig.4 Closed-loop pole map of system when inductance is mismatched

3 仿真和实验验证

3.1 仿真验证

结合前述，转速环采用PI控制器、电流环采用基于ESO的DPCC控制器的PMSM控制策略整体结构框图如图5所示（采用id=0控制策略）。

图5 PMSM控制策略整体结构框图Fig.5 PMSM control strategy structure block diagram

图5中，N为电压参考矢量所在扇区；θe为电机转子电角速度；ω为电机速度反馈；ia，ib，ic分别为电机三相电流。仿真中采用的永磁同步电机参数为：额定电压220 V，额定功率0.75 kW，交直轴电感6.552 mH，定子电阻0.901 Ω，极对数4，转动惯量1.2×10-4kg·m2。

图6为所设计控制策略的转速响应仿真。转速初始给定值为斜坡给定上升至1 000 r/min，空载启动，0.1 s时加2 N·m负载，0.2 s时转速给定为斜坡给定上升至2 000 r/min，0.3 s时撤负载。

如图6所示，转速响应在电机启动以及转速给定改变时均能快速跟踪给定值，转速超调较小，稳态运行平稳无静差；当有负载扰动时，转速有小幅波动并迅速跟踪给定值。说明所提控制策略具有良好的静动态特性和抗负载扰动的能力。

图6 采用基于ESO的DPCC控制策略下的转速响应曲线Fig.6 Speed response curves based on ESO-based current predictive control control strategy

图7～图9为传统DPCC策略以及基于ESO的DPCC策略在与图6相同的仿真条件下，d，q轴电流分别在电感参数为标称值、0.8倍的标称值以及0.5倍的标称值时的响应曲线。

图7 L=L0时d，q轴电流响应曲线Fig.7 d，q axis current response curves at L=L0

图8 L=0.8L0时d，q轴电流响应曲线Fig.8 d，q axis current response curves at L=0.8L0

图9 L=0.5L0时d，q轴电流响应曲线Fig.9 d，q axis current response curves at L=0.5L0

可以看出，当电感值准确时，两种控制方式d，q轴电流均能快速跟踪给定，且稳态时电流纹波小，有较好的电流控制效果。采用传统DPCC策略，当电感参数有20%的误差时，电流纹波有一定程度的增大；当电感参数误差达到50%时，电流响应已明显畸变，震荡幅度较大。而在基于ESO的DPCC策略控制下的电流响应虽然也有一定的纹波，但控制效果明显优于前者，说明该控制策略显著提高了控制系统的参数鲁棒性。

3.2 实验验证

为了验证所提策略的控制效果，搭建了永磁同步电机对拖实验平台。实验平台示意图如图10所示，实验样机如图11所示。

图10 实验平台结构框图Fig.10 Experimental platform structure block diagram

图11 实验平台样机Fig.11 Experimental platform prototype

永磁同步电机的功率等级为22 kW，电机参数为：定子电阻0.167 Ω，d轴电感4.5 mH，q轴电感31.7 mH，极对数3，永磁体磁链1.23 Wb，黏滞摩擦系数0.000 4 N·m·s。负载为一台55 kW的直流电机，其控制器型号为SIEMENS 6RA7031。

图12为永磁同步电机空载启动到稳定运行的实验结果，其中转速给定为斜坡给定至n*=800 r/min。从图中可以看出，电机启动过程平稳且超调较小，d，q轴电流能够无静差地跟踪给定值，在q轴给定电流发生变化时，q轴实际电流值能够快速响应跟踪给定值。图13为当电机给定转速由500 r/min变化到900 r/min时的转速响应。可以看出，实际转速可以快速地跟踪跟定值，超调较小，过渡过程平稳。上述实验结果表明，所提控制策略具有良好的稳态和动态性能。

图12 空载启动到稳态运行实验结果Fig.12 No-load start-up to steady-state running experimental results

图13 转速给定变化时实验结果Fig.13 Experimental results of PMSM when the speed reference changes

图14 电感误差在50%时的转速响应Fig.14 Speed response at 50% inductance error

图14为PMSM在L0/L=2条件下采用基于ESO的DPCC策略时的转速响应曲线。转速给定n*=800 r/min，在电机启动过程完成后进行了突加负载与突减负载操作。从图中可以看出，在突加负载时电机转速略有跌落，突卸负载时电机转速略有升高，但能够快速跟踪上给定值，电流过渡过程平稳。即使电感参数存在50%误差，整个控制过程依然具有很好的d，q轴电流以及转速的静动态特性，表明该策略具有良好的参数鲁棒性和抗负载扰动的能力。

4 结论

在PMSM双闭环调速系统中，结合无差拍控制电流控制精度高以及自抗扰技术抗扰能力强的特点，设计了基于ESO的DPCC策略，并进行了参数稳定性分析。该控制策略不仅具有良好的转速与电流控制效果，同时解决了传统DPCC对模型参数依赖性强的问题。从仿真及实验结果可以看出，该策略具有转速跟踪性能良好、抗扰动能力强、参数鲁棒性强、算法简单易数字化实现等特点。