（浙江理工大学 信息学院，浙江 杭州 310018）

0 引言

磁共振成像（Magnetic Resonance Imaging，MRI）是一种对人体无辐射伤害的诊断方法，具有多方位、多参数、多模态等优点，能够提供丰富的诊断信息［1］，这些优点使得MRI成为医学研究的重点领域之一。然而，成像时间长是其不可避免的缺点，如何重构高质量的磁共振图像以便医护人员更好地对病灶进行诊断是研究的重点。压缩感知［2］（Compressed Sensing，CS）打破了传统的奈奎斯特采样定理，使得仅采集少量数据就能恢复出高质量的信号成为可能。基于压缩感知的磁共振成像［3］（CS-MRI）是MRI 的一个重大突破，利用CS 原理，不仅磁共振数据采集量大大减少，而且图像重构质量也相应提高。

全变差分［4］（Total Variation，TV）能够有效地保留图像边缘信息，是一种经典的图像稀疏方法。2016 年，马杰等［5］提出一种基于全变分正则化低秩稀疏分解的动态MRI重建方法，通过在低秩加稀疏分解模型基础上，结合TV 正则化项，最终使用非精确增广拉格朗日算法对模型求解。该算法在重构精度及速度上都有较大提高。Varghees 等［6］提出一种基于TV 最小化模型和本地噪声估计技术以自适应地去除图像中的噪声，实验表明，该方法既能保留原始图像的边缘信息，又可成功减少Ricaian 噪声。非局部均值［7］（Non-Local Means，NLM）去噪的基本思想是当前像素的估计值由图像中与它具有相似领域结构的像素加权平均得到，能够最大程度地保持图像的细节特征。2015 年，陈创泉［8］对一些改进的NLM 方法加以总结，实现MRI 图像去噪，分析利用NLM 技术进行磁共振图像去噪的关键技术以供研究人员参考。BM3D（Block Matching of 3D Fil⁃tering，BM3D）是一种基于NLM 和稀疏表示的性能优越的图像去噪算法［9］，该方法通过相似性准则找到与参考块相似的二维图像块，按照相似度大小堆叠成三维相似组，将其变换到三维空间域后进行协同滤波处理，将最终得到的近似图像块进行加权平均后返回到原始图像块位置以得到最终恢复图像。

BM3D 是公认的去噪性能优越的算法，基于BM3D 的磁共振图像重构算法陆续被提出。Eksioglu 等［10］将BM3D算法作为基于噪声去除的迭代阈值算法（Denoising-based Iterative Thresholding，D-IT）和去噪近似消息传递算法（DAMP）的去噪先验进行磁共振图像重构［11］。前者的主要思想是将迭代阈值算法中的阈值处理看成是噪声去除操作，从而使用BM3D 算法实现噪声去除，这种方法简称为BM3D-IT-MRI；后者的主要思想是利用现有噪声去除算法实现去噪近似消息传递算法中的滤波操作。由于磁共振图像的数据具有复值特性，Eksioglu 等［10］将数据分为实和虚两个通道分别加以处理，采用BM3D 算法去除噪声，这种方法简称为BM3D-AMP-MRI。2015 年，Qu 等［12］提出一种基于块的非局部算子（Patch-based Nonlocal Operator，PANO），该算法通过PANO 算子尽可能地对相似块组进行稀疏化，最终实现磁共振图像重构；2017 年，Zha 等［13］提出组稀疏残差约束的图像去噪算法，该算法将图像去噪问题转化成最小化组稀疏残差问题，首先将BM3D 算法应用于噪声图像，再对降噪后的图像使用组稀疏残差法估计出组稀疏集合，相应地得到估计图像。这种算法是在BM3D 去噪基础上实现组稀疏系数最小化，实验表明，该算法去噪性能优于BM3D 算法。

BM3D-AMP-MRI 是近年来提出的一种重构性能较高的重建算法，其主要思想是将BM3D 作为去噪近似消息传递算法的去噪先验。由于GSRC 是一种去噪性能较BM3D优越的去噪算法，为获得更高的磁共振图像重建精度，本文将GSRC 作为去噪近似消息传递的去噪先验。将DAMP 迭代重构的图像估计值和噪声标准差作为GSRC 算法的初始噪声图像和噪声标准差，经GSRC 去噪后得到的图像以进一步实现D-AMP 算法的残差更新。最终实验结果表明，基于GSRC 的磁共振图像重建算法不仅有效保留了原始图像的细节信息，而且提高了重建质量，并具有较强的鲁棒性。

1 基于组稀疏残差的磁共振图像重构方法

传统的磁共振图像重构模型如式（1）所示。

其中，X为待重构的MR 图像，F是傅里叶操作算子，U为欠采样矩阵，y是测量的K 空间数据，Ψ代表稀疏变换。式（1）中前半部分表示数据的保真项，后半部分λ‖ΨX‖1代表数据的惩罚项或者稀疏项目，参数λ用来平衡数据的保真项和稀疏项，使得求解出的X更加接近原始图像。

1.1 组稀疏系数残差去噪

组稀疏模型表示如式（2）所示。

组稀疏基本思想如下：X∈RN是一幅清晰的图像，将X分割成m个尺寸固定的图像块，将这m个重叠的图像块表示为xi,i=1,2,...,m。在固定的窗口中（大小为W×W）寻找n个相似块，这些相似块组表示为Xi，定义为Xi={xi,1,xi,2,...,xi,n}。xi,n表示第i组中第n个相似块，Ai表示相似块组Xi的组稀疏系数。Di表示稀疏字典，本文使用的是PCA 子字典，使得。‖·‖F表示Frobenius 范数，‖Ai‖p为模型的稀疏项，‖·‖p表示lp范数，p的取值为0 或者1，λi是正则化参数。式（2）表明整个图像能够通过组稀疏编码的集合{Ai}进行表示。

对于磁共振成像而言，式（1）中原始图像X未知，其研究目的在于重构出与X近似的。本文基本思想是使用迭代磁共振重构算法，每次迭代都会得到一个与原始磁共振图像近似的含有噪声的图像，假设为R，从R中提取n个噪声图像块ri,i=1,2,...m，找到噪声图像块ri的相似块，并组成相似块组Ri={ri,1,ri,2,...,ri,n}。此时磁共振图像去噪转化为利用组稀疏编码从Ri中恢复Xi。

当获得所有组稀疏系数{A_Ei}，通过Xi重建原始磁共振图像X。

对比式（2）和式（3），将求解问题转化为缩小估计的组稀疏系数A_E与原始图像的组稀疏系数A之间的误差。因此，可以将问题转化为通过定义残差进行相应的求解计算，即组稀疏系数A_E与组稀疏系数A的差值，用Red表示，如式（4）所示。最终将求解问题转换为如何减小组稀疏系数残差Red问题，其模型表示如式（5）所示。

真实的组稀疏编码A是未知的，本文首先对迭代过程中噪声图像R使用BM3D 方法去噪，将去噪后的结果表示为Z，用Z的组稀疏系数取代未知A。因此式（5）中，只有A_Ei是待求解的变量。

文献［13］证明式（5）在第t+1 次迭代中，计算方式如式（6）所示。

其中，Sλ(⋅)是软阈值操作算子，表示第i次重构相似块组。相似块组Redi对应参数λi设置如式（7）所示。

其中，σi表示Red的估计方差，c 是一个非常小的常量。在第t+1 次迭代过程中，噪声标准差计算如式（8）所示。

其中，γ表示一个小常数。当求出A_Ei后，重构的图像块组，最终通过聚合所有图像块组得到去噪后的图像。

1.2 磁共振图像重构

D-AMP 算法是一种基于噪声去除的算法，本文使用该算法对磁共振图像进行重构，并将GSRC 去噪算法作为该重构算法的先验知识。最终结果表明，该方法能够重构出质量相对较高的图像。基于组稀疏残差去噪的近似消息传递磁共振图像重构流程如下：①输入零填充的磁共振图像X0=（FΩ表示欠采样傅里叶算子），迭代残差z0=y；②计算初步得到的估计值；③计算噪声标准差，N为y的长度；④使用GSRC 算法对Riter去噪，；⑤计算Onsager校正项；⑥更新残差ziter=y-FΩ Xiter+qiter；⑦判断迭代次数是否达到最大次数，满足则输出最终重构值，否则返回步骤②。

1.3 实验方法

本文使用的实验数据如图1（a）—图1（c）所示，实验使用3 组数据比较几种重建算法的重建表现。这3 组数据分别是人的脑部［14］（Brain）、心脏［15］（Heart）及上半身图［14］（Bust）。其中，Heart 的数据来源于文献［14］中三维心脏的第十帧数据。采样模式不同会影响图像重构质量，本次实验将选用伪径向［16］和笛卡尔采样两种模式对原始磁共振数据进行欠采样，图1（d）和图1（e）展示了采样率为20%的伪径向采样和30% 的笛卡尔采样mask。为了验证算法的有效性和准确性，本文算法均运行在Matalab R2016a 软件上，主机CPU 的配置为Intel Core i5，内存为8G，操作系统为Windows 10。

对比算法有基于BM3D 去噪的迭代阈值磁共振图像重构算法［10］（BM3D-IT-MRI）、基于块的非局部算子PA⁃NO［12］以及基于BM3D 的近似消息传递算法［10］（BM3DAMP-MRI）算法。为了衡量重构效果和算法性能，本实验计算峰值信噪比（Peak to Signal Ratio，PSNR）和相对L2范数误差（RelativeL2Norm Error，RLNE）。PSNR 是一种常用的评价图像重构质量好坏的指标，PSNR 值越高表明图像重构性能越好。RLNE 用来表示重构图像与原始图像的偏差，RLNE 值越小，表明重构图像越接近原始图像。除使用PSNR 和RLNE 两个指标外，将会对重构图像的细节进行放大分析，观察不同重构算法保留原始图像细节能力上的差异。

Fig.1 Experimental source data and two sampling masks图1 实验源数据以及两种采样mask

2 实验结果与分析

表1、表2 展示了在采样率为20% 和30% 的条件下，磁共振图像重构的PSNR 和RLNE 值。其中，加粗数据表示相同条件下得到的最高PSNR 和最低的RLNE 值。根据表1 计算得出，在20% 采样率下，本文算法重构的PSNR值较BM3D-IT-MRI、PANO 及BM3D-AMP-MRI 算法平均增加3.8dB、1.3dB 和1dB，RLNE 平均降低0.060 7、0.016 5、0.017 7。因此，可以判定本文重构性能高于其它3 种算法。对比发现，相同采样率下，伪径向采样模式下重构图像的PSNR 均高于笛卡尔采样模式下的PSNR 值、RLNE值均低于笛卡尔采样模式下的RLNE 值，可知伪径向采样是一种优于笛卡尔采样的模式。比较表1 和表2 可知，对于同一源数据，相同采样模式下，20% 欠采样的图像重构质量比30% 欠采样重构的图像质量差，说明采样率越高，获取到源数据的有用信息越多，最终重构质量也越高。

Table 1 The PSNR/RLNE of reconstructed image under 20% under-sampling表1 20% 欠采样条件下图像重构的PSNR/RLNE

Table 2 The PSNR/RLNE of reconstructed image under 30% under-sampling表2 30% 欠采样条件下图像重构的PSNR/RLNE

20% 伪径向采样模式下，Bust 图像的重构细节放大图及放大10 倍后的重构误差如图2 所示（彩图扫OSID 码可见），第一行从左到右分别为原图、BM3D-IT-MRI 重构细节图、PANO 重构细节图、BM3D-AMP-MRI 重构细节图以及本文算法的重构细节图；第二行从左到右分别为20% 伪径向采样mask、BM3D-IT-MRI 重构误差图、PANO 重构误差图、BM3D-AMP-MRI 重构误差图以及本文算法重构误差图。图2 的第一行内容中，较小的红色框内表示待放大重构区域，较大的红色框内表示经放大后的待观察重构区域，对比发现，本文算法对原始细节信息保留得更好，更加接近原始图像。并且，由图2 的第二行可以看出，本文算法的重构误差最小。图3 展示了30% 笛卡尔采样模式下，Brain 图像重构的细节放大图及放大10 倍后的重构误差图（彩图扫OSID 码可见），第一行从左到右分别为：原图、BM3D-IT-MRI 重构细节图、PANO 重构细节图、BM3DAMP-MRI 重构细节图以及本文算法的重构细节图；第二行从左到右分别为：30% 笛卡尔采样mask、BM3D-IT 重构误差图、PANO 重构误差图、BM3D-AMP-MRI 重构误差图以及本文算法重构误差图。通过对比图2 和图3 结果可知，本文提出的重建算法能够取得令人满意的结果，重构后的磁共振图像边缘较清晰，视觉效果较对比算法佳。

Fig.2 Experimental results（1）图2 实验结果展现（一）

Fig.3 Experimental results（2）图3 实验结果展现（二）

采样因子大小对重构算法会产生影响，采样因子越大，图像欠采样率越低，表明欠采样数据越低，采集到的原图像有效信息越少。本文分别研究在采样因子为2～10 的条件下，图像重构质量变化情况。图4（a）和图4（b）展示了伪径向采样下，采样因子对4 种算法重构质量的影响。观察可知，当采样因子增加时，重构的PSNR 值呈下降趋势，同时RLNE 值呈增长趋势，说明图像重构质量在下降。

由图4（a）和图4（b）可知，本文算法与BM3D-AMPMRI 算法重构的PSNR 和RLNE 非常接近，两者重构质量相当。但本文算法的重构性能明显优于BM3D-IT-MRI 和PANO 算法。图4（c）和图4（d）展示了在笛卡尔采样模式下，采样因子对图像重构的影响。同样可以得出，采样因子大小与图像重构质量成反比。但是可以清晰地看出，本文算法重构的PSNR 值和RLNE 值明显优于其它3 种算法。不同于伪径向采样，笛卡尔采样条件下本文算法的重构性能明显优于BM3D-AMP-MRI 的重建性能。一方面，表明本文算法在笛卡尔采样模式下具有更加优异的重建性能；另一方面，说明不同的采样模式对图像重构结果有着至关重要的影响。

Fig.4 The PSNR and RLNE of reconstructed Brain image图4 Brain 图像重构的PSNR 与RLNE

3 结语

本文提出基于组稀疏残差去噪的磁共振图像重构算法，将组稀疏残差作为去噪近似消息传递算法的去噪先验，实现磁共振图像重建。在Matlab 仿真平台上，对比了3种磁共振图像重建算法，研究不同采样模式和采样因子条件下，各算法的重建性能。实验表明，本文提出的算法具有更高的PSNR 值和更低的RLNE 值，同时保留了原始图像更多的细节信息，具有一定的应用价值。由于实际应用中，采集到的磁共振更多的是三维K 空间数据，因此，如何将本文算法拓展到三维动态磁共振成像中，是下一步研究的重点。