（江苏大学电气信息工程学院，江苏镇江 212000）

0 引言

锂离子电池已成为新能源汽车的主流动力源之一，为延长电池使用寿命，必须对其进行科学、有效的管理［1］。荷电状态（State of charge，SOC）能够表征电池剩余电量，因此准确估算电池的SOC 已成为电动汽车电池管理系统（Bat⁃tery Management System，BMS）中的一个重要环节。然而，电池SOC 的估算精度依赖于电池电路模型及其相应的估计算法。

电池内部的电化学反应是一个复杂的非线性过程，很难用一个精确的电池模型准确表述电池性能［2］。常用的描述电池性能的方法有：等效电路模型法、电化学模型法、有限元模型法以及CFD 模型法等［3-4］。等效电路模型因具有简单直观、概念清晰、便于建模等优点，被广泛应用于工程实践中。文献［5］分析蓄电池的Rint、Thevenin、PNGV、GNL 等电路模型的优缺点，但由于这些模型存在无法描述电池暂态响应，或响应精度不高、模型计算量过大等缺陷，无法适用于电动汽车在线SOC 估计；文献［6］采用两组阻容（Resistive-Capacity，RC）并联网络，能较好地描述锂电池的暂态响应。

常用的电池SOC 估计方法有：①开路电压法［7］。该方法需要将电池静置一段时间后才能获取准确的SOC，不能满足实时估计的需求；②经验公式及数学模型法［8］。其是在恒流充放电条件下总结出的规律，无法很好地适用于复杂的放电工况；③电化学阻抗频谱法［9］。需要精密的电化学测量仪器，不能装配到整车作实时估计；④神经网络法［10］。需要大量数据进行训练，估计结果受训练数据及训练方式影响较大；⑤安时积分法。将电流与时间的积分作为电池变化电量，把电池初始电量与变化电量差值相对电池总电量的百分比作为SOC 估计值，该方法能够实现SOC的实时估计，也是目前应用最广泛的SOC 估算方法。

本文基于双阻容耦合的等效电路模型，通过HPPC 充放电循环实验，以及最小二乘辨识方法确定模型中各个参数，结合EKF 算法与安时积分法估算单体锂电池SOC。相较于传统Thevenin 等效电路模型，将双阻容耦合等效电路模型建立的空间状态方程与安时积分算法相结合，估算的SOC 更高，且在恒流脉冲放电工况下误差可保持在1% 以内。变流脉冲放电实验结果表明，本文算法仍能有效修正SOC 估算初始误差。

1 锂离子电池等效电路模型

RC 模型是2001 年美国再生能源实验室（NREL）发布的ADVISOR 软件中采用的标准锂电池模型（见图1），该模型能够描述电池变流充放电特性，且物理意义清晰，易于在工程中应用。

Fig.1 RC Equivalent circuit model图1 RC 等效电路模型

图1 中，电容Cb为电池化学储能，Cc为电池表面电容，Rt为欧姆电阻，Re、Rc为极化内阻。根据基尔霍夫电压定律，可建立RC 等效电路模型状态方程如下：

2 RC 电路模型参数计算

RC 电路中各等效元件参数值与SOC 的关系可由混合脉冲功率性能测试实验HPPC［11］得到，一次脉冲放电测试过程中电压变化如图2 所示。

在给定的电池温度和SOC 条件下，可选用基本物理学实验值作为未知参数（Cb、Cc、Rt、Re、Rc）的初始值，从而进行数据处理与优化，确定状态空间方程中的5 个参数值。

2.1 电池容量Cb 计算

电池容量Cb根据实验过程中电池SOC 值在0%～100% 时的开路电压与电池容量（A⋅h）变化率γ计算得出。即：

式中，Q为电池容量（A⋅h）。

2.2 电池表面电容Cc 计算

表面电容Cc与随时间变化的电压V3、V4，放电初始电压V1（见图2），以及时间常数τ相关。时间常数τ计算公式如下［11］：

式中，t2、t4分别为放电结束时间与开路电压稳定时间。

表面电容Cc计算公式如下：

2.3 电阻Rt、Re、Rc 计算

为确定RC 电路模型中的电阻参数值大小，本文采取ADVISOR 的方法计算初始参数值。

模型中欧姆内阻Rt与极化内阻Rc、Re之间关系如式（6）所示。

式中：

其中，Rbulk为单步长内电压变化与电流的比值：

3 基于EKF 的SOC 估算方法

为减小SOC 估算误差，本文将安时积分算法计算的SOC 值与RC 等效电路模型中的电容电压作为系统状态变量，构建状态方程，并将RC 等效模型中的开路电压值Vo作为观测变量，构建观测方程。通过迭代计算，使任意时刻SOC 的估计值均可通过观测值修正，从而提高估计精度。

3.1 安时积分法

安时积分法是最常用的SOC 估算方法，但由于存在SOC 初始误差和电流累计误差等问题［1］，随着算法的运行，SOC 估算误差会逐渐增加。安时积分法计算公式如下：

式中，η为库伦效率，由放电容量与充电容量的比值计算得到；Q为标准放电测试下的静态容量；IS为充放电电流。

3.2 EKF 算法应用

结合EKF 算法与安时积分算法，SOC 估计步骤如下［12］：

步骤1：建立电池模型状态方程。

其中：

步骤2：建立电池模型观测方程。选取k时刻电池端电压Vo(k)为观测量，可得观测方程为：

由于模型参数Rt、Re、Rc的取值与SOC 有关，且经过实验验证，SOC 对模型参数的影响较小［13］，为减小计算量，该值可忽略不计。此外，由于相对于更容易获取，代表电池无负载时电池开路电压，其函数关系可通过放电实验数据拟合得到。因此，在观测方程中不再考虑与SOC 的函数关系，可将观测方程（12）简化为：

步骤3：对状态方程和观测方程进行线性化处理。

由于观测方程是非线性方程，为了便于EKF 估计，采用泰勒近似，即：

设测量矩阵H为：

步骤4：参数初始化与循环递推［14］。

（1）参数初始化：

（2）状态变量更新：

（3）观测变量更新：

（4）计算误差协方差矩阵：

（5）计算kalman 增益Kg：

（6）计算状态变量最优估计值：

（7）更新误差协方差矩阵：

在上述递推过程中，y(k)=Vo(k)，In为n阶单位阵，w(k)、θ(k)分别为零均值且符合高斯分布的系统噪声和观测噪声协方差，μ0为状态变量初始值，p0为初始误差协方差。

基于EKF 算法的SOC 估算流程如图3 所示［6］。

Fig.3 SOC Estimating process图3 SOC 估算流程

4 实验验证

本实验采用国内某厂家生产的便携式锂电池充放电机（见图4）进行充放电实验，通过上位机控制充放电电流与充放时间，利用放电实验确定国内某厂商生产的18650型号的磷酸铁锂电池在实验环境下的标准容量Q与特定放电工况下的库伦效率η。采用第2 节中计算模型参数的方法并结合最小二乘法［15-20］，计算RC 等效模型中各参数最优值。本文选取恒流脉冲放电与变流脉冲放电实验验证该算法对SOC 的估算效果。

Fig.4 Portable lithium battery charging and discharging machine图4 便携式锂电池充放电机

4.1 参数识别

本次参数辨识采用的标准电压为3.7V，额定容量为2 800mAh 的锂电池。在不同放电电流下对实验电池进行放电，获得电池实际容量如表1 所示。

因大电流放电导致电池端电压迅速下降至放电截止电压（设定值2.75V），待静置后以小电流放电，仍可释放出剩余电量。将前后两次放电量总和记为电池可用容量，放电流程如图5 所示。

Table 1 Battery capacity and Coulomb efficiency表1 电池容量与库伦效率

Fig.5 图5 放电流程

取平均释放容量为电池可用容量，即Q为2 054mAh；取放电电流区间［0.5 3］内平均库伦效率为电池库伦效率，即η为97.3%。

通过控制容量释放，在不同SOC 值下利用HPPC 脉冲放电实验获取电池电压端的电压变化曲线，对模型参数进行最小二乘估计，结果如表2 所示。

Table 2 Parameter identification results表2 参数辨识结果

对SOC与进行4 次拟合，SOC与的关系如图6所示。

Fig.6 SOC and the open circuit voltage图6 SOC 与开路电压关系

SOC与的函数关系如式（18）所示。

因模型参数Re、Rc、Rt对SOC 估算的影响可忽略不计，为简化方程，降低计算量，取各参数辨识结果的平均值作为参数最终取值，结果如表3 所示。

Table 3 Resistance parameter value表3 电阻参数取值

结果表明，Re、Rc、Rt3 个参数之间的关系与式（6）基本一致，因此由式（4）、式（5）计算得出表面电容Cc的值如表4 所示。取表面电容平均值1.1kF作为参数Cc的最终值。

Table 4 Surface capacitance value表4 表面电容取值

4.2 恒流脉冲放电实验

恒流放电脉冲放电实验中，取恒定放电电流为1A，每次脉冲放电时间为10s，放电结束后静置10s，如此循环放电。放电电流如图7 所示。

Fig.7 Constant current pulse discharge current图7 恒流脉冲放电电流

设置采样周期为10s，共进行1 000 次采样，SOC 初始值为100%。为体现本文算法对SOC 初始误差的修正作用，设置滤波初始值分别为100%、82%、56%。恒流脉冲放电结果如图8 所示。

Fig.8 SOC The EKF estimate and true value of SOC图8 SOC 的EKF 估计值与真实值

EKF 估计结果与真实值相对误差如图9 所示。

Fig.9 SOC estimation error图9 SOC 估算误差

恒流放电实验结果表明，EKF 算法对SOC 初始误差能够进行快速修正，且能将SOC 估算相对误差维持在1% 以内，具有较高的估算精度。

4.3 变流脉冲放电实验

变流放电脉冲放电实验中，取放电电流分别为1A、2A、3A，且每次脉冲放电时间为10s，放电结束后静置10s，如此循环放电。放电电流如图10 所示。

Fig.10 Variable current pulse discharge current图10 变流脉冲放电电流

设置采样周期为10s，共进行1 000 次采样，SOC 初始值为100%。同样设置滤波初始值分别为100%、86%、58%。变流脉冲放电结果如图11 所示。

Fig.11 The EKF estimate and true value of SOC图11 SOC 的EKF 估计值与真实值

EKF 估计结果与真实值相对误差如图12 所示。

Fig.12 SOC estimation error图12 SOC 估算误差

变流放电实验结果表明，EKF 算法同样能修正SOC 估算初始误差，但由于采用较大的放电电流，导致电池温度迅速增加，致使SOC 估算误差也逐渐增加。因此，在对模型参数进行辨识的同时，还应考虑温度的作用。

5 结语

本文建立动力锂电池的RC 等效电路模型并进行模型参数辨识，同时建立电池状态方程与观测方程，采用EKF与安时积分相结合的算法对SOC 进行实时估计，通过实验验证得出以下结论：

（1）具有RC 网络的等效电路模型能够较好地体现锂电池在充放电过程中的动态响应，其模型参数的辨识结果较为精准，满足应用要求。

（2）EKF 与安时积分相结合的算法对SOC 初始误差具有良好的修正作用，其SOC 稳态调节误差时间与初始绝对误差呈正相关。

（3）间接验证了温度对模型参数的影响，由温度引起的模型参数变化是导致SOC 估算误差逐渐增加的原因。