许银伙

(福建省泉州外国语中学 362000)

针对含参不等式恒成立求参数范围的问题，通常有三种方法：分离参数，化成函数最值问题；构造新函数，求导分类讨论；半分离参数，化成含参直线与固定函数的位置关系.2020年高考全国Ⅰ卷理科第21题(2)问是含参不等式恒成立问题，其参考解答仍然是常规的分类讨论，但在不等式变形也就是构造新函数时展现了新技巧，具有很强的创新性.按照传统的思路能否解决？参考解答能否改进？本文对此进行探究，并对各种方法的适用性进行归纳总结.

一、试题呈现

试题(2020年全国高考Ⅰ卷·理21)已知函数f(x)=ex+ax2-x.

(1)当a=1时，讨论f(x)的单调性；

二、试题解析

1.第(1)问解析

解析f(x)在(-∞,0]单调递减，在(0,+∞)单调递增.

2.第(2)问解析

思考1 参数容易分离的不等式恒成立或方程有解的问题，为避免讨论，通常考虑分离参数，转化为求函数最值或值域的问题.

因为g′(0)=0，g′(x)>0对x>0恒成立，g(x)在(0,+∞)单调递增.又因为g(0)=0，所以g(x)≥0对x≥0恒成立，符合.

当x∈(0,x1)和x∈(x2,+∞)时，h(x)>0；当x∈(x1,x2)时，h(x)<0，所以g′(x)在(0,x1)和(x2,+∞)单调递增，在(x1,x2)单调递减.

由于g′(x)>0对x∈(0,x1]恒成立，所以函数g′(x)在(x1,+∞)最小值为g′(x2).

①当g′(x2)≥0时，得g′(x)≥0对x>0恒成立，所以g(x)在(0,+∞)单调递增.

又因为g(0)=0，所以g(x)≥0对x≥0恒成立.

此时h(x2)=ex2+2a-3x2=0，即ex2=3x2-2a.

当x∈(0,t1)和x∈(t2,+∞)时，g′(x)>0；当x∈(t1,t2)时，g′(x)<0,所以g(x)在(0,t1)和(t2,+∞)单调递增，在(t1,t2)单调递减.

因为g(0)=0，所以g(x)>0对x∈(0,t1]恒成立，g(x)在(t1,+∞)最小值为g(t2).

令φ(x)=x2+2x+2-2ex，则φ′(x)=2x+2-2ex，φ″(x)=2-2ex<0对x>0恒成立，φ′(x)在(0,+∞)单调递减.因为φ′(0)=0，所以φ′(x)<0对x>0恒成立，所以φ(x)在(0,+∞)单调递减.

因为φ(0)=0，所以φ(x)<0对x>0恒成立.

由g(t2)≥0，得ln3

思考3 遇到含参数不等式问题，还经常化成半分离参数形式解决，即化成不等式两边分别是含参数直线方程形式和不含参数的固定函数，借助切线解决.

记φ(x)=(7-e2)x2-4[x3-1-(x-1)ex]，则φ′(x)=2x(7-e2-6x+2ex).令τ(x)=7-e2-6x+2ex，则τ′(x)=2ex-6，令τ′(x)=0，解得x=ln3.

当x∈(0,ln3)时，τ′(x)<0；当x∈(ln3,+∞)时，τ′(x)>0，所以τ(x)在(0,ln3)单调递减，在(ln3,+∞)单调递增.

由τ(0)=9-e2>0，τ(ln3)=7-e2+6-6ln3<0，τ(2)=e2-5>0，得τ(x)=0有两个不同的解x1,x2，且00，φ′(x)=2xτ(x)>0；当x∈(x1,x2……