高振宁

(山东省新泰市第一中学 271200)

抽象函数问题是高中数学的难点，也是高考的热点问题，是教师讲解的重点问题.抽象函数问题由于没有给出具体的函数解析式,而只给出该函数所具备的某些性质，不少学生面对这类问题时常感觉束手无策.虽然抽象函数具有一定的抽象性,构思新颖,且性质隐而不露，但抽象函数都是以中学阶段所学的基本初等函数为背景.通过函数运算能够促进学生数学思维的发展，通过常见的“二级结论“解决数学问题，可优化数学运算的过程，使学生逐步形成规范化、程序化的思维品质，养成一丝不荷、严谨求实的科学精神.

一、奇函数的最值性质

已知函数f(x)是定义在区间D上的奇函数，则对任意的x∈D，都有f(x)+f(-x)=0.特别地，若奇函数f(x)在D上有最值，则f(x)max+f(x)min=0，且若0∈D，则f(0)=0.

解析显然函数f(x)的定义域为R.

由奇函数图象的对称性,知g(x)max+g(x)min=0.

则M+m=[g(x)+1]max+[g(x)+1]min=2+g(x)max+g(x)min=2.

二、抽象函数的周期性

(1)如果f(x+a)=-f(x)(a≠0)，那么f(x)是周期函数，其中一个周期T=2a.

(4)如果f(x+a)+f(x)=c(a≠0)，那么f(x)是周期函数，其中一个周期T=2a.

(5)如果f(x+a)=f(x-a)(a≠0)，那么f(x)是周期函数，其中一个周期T=2a.

例2已知函数f(x)为定义在R上的奇函数，当x≥0时,有f(x+3)=-f(x)，且当x∈(0,3)时，f(x)=x+1，则f(-2023)+f(2024)=____.

解析因为函数f(x)为定义在R上的奇函数，所以f(-2023)=-f(2023).因为当x≥0时，有f(x+3)=-f(x)，所以f(x+6)=-f(x+3)=f(x)，即当x≥0时,自变量的值每增加6，对应函数值重复出现一次.

又当x∈(0,3)时，f(x)=x+1，

所以f(2023)=f(337×6+1)=f(1)=2，

f(2024)=f(337×6+2)=f(2)=3.

故f(-2023)+f(2024)=-f(2023)+3=1.

三、抽象函数的对称性

已知函数f(x)是定义在R上的函数，

推论1若f(a+x)=f(a-x)恒成立，则y=f(x)的图象关于直线x=a对称；

推论2若f(x)=f(2a-x)恒成立，则y=f(x)的图象关于直线x=a对称；

推论3 若f(-x)=f(2a+x)恒成立，则y=f(x)的图象关于直线x=a对称.

(2)若函数y=f(x)满足f(x)+f(2a-x)=2b,即f(x)=2b-f(2a-x),则y=f(x)的图象关于点(a,b)对称；……