李怀忠

(甘肃省景泰县第二中学 730400)

所谓焦点三角形，指的是椭圆或双曲线上任一点与两焦点连接而成的三角形.焦点三角形是高考考查椭圆、双曲线的定义、几何性质、解三角形的重要素材，其涉及的知识范围宽广、方法灵活、数学思想突出.本文就常见的焦点三角形问题做一归纳总结.

一、焦点三角形中的离心率问题

图1

解析在焦点ΔPF1F2中，由正弦定理,得

点评椭圆中的离心率借助焦点三角形中的两内角求解，涉及到椭圆定义、正弦定理、等比定理等相关知识结构，内涵丰富，题目灵活多变.

图2

因为点P是准线上的动点，则PF2≥F2H.

点评离心率的取值范围求解的关键是寻找几何量之间的不等关系，Rt△PF2H中，PF2≥F2H不等关系的确立是本题的突破口.

二、焦点三角形中的面积问题

解析由双曲线的定义，可知PF1-PF2=2.

所以△PF1F2是以点P为顶点的直角三角形.

图3

证明令PF1=m，PF2=n,则m+n=2a.

由余弦定理,得(2c)2=m2+n2-2mncosθ=(m+n)2-2mn(1+cosθ).

例5已知F1，F2为双曲线C:x2-y2=1的左、右焦点,点P在C上,∠F1PF2=60°,则|PF1|·|PF2|=( ).

A.2 B.4 C.6 D.8

点评利用等面积法，从两个不同的角度来理解问题，实现问题的整体转化.焦点三角形面积公式是问题的突破点.

三、焦点三角形中的边长问题

例7 已知F1(-1，0)，F2(1，0)是椭圆C的两个焦点，过F2且垂直于x轴的直线交C于A，B两点，且|AB|=3，则C的方程为( ).

图4

解析题目中给出了中垂线，所以要用到中垂线的性质,即AF=PF.要求e的范围，我们需要构造一个关于基本量的不等关系，且在有动态变量的题目中，需要把定值和变量进行比较.

点评焦点三角形中，P到焦点F的距离为焦半径，则a-c≤PF≤a+c，焦半径的取值范围……