谢新华

(福建省莆田第二中学 351131)

点评已知函数零点的个数求参数的取值范围，其常见的转化方法是分离参数法，使得构造的函数中不含参数，避免了参数的分类讨论.应用数形结合思想把函数零点问题转化为水平直线y=m与函数h(x)图象的交点个数问题来解决.

例2若函数f(x)=aex-x-2a有两个零点，则实数a的取值范围是____.

又g(0)=0,所以当x>ln2时，g(x)>0.因为函数f(x)有两个零点，所以直线y=a与函数g(x)的图象有两个公共点.所以实数a的取值范围是(0,+).

图1

解法2 (直接构造函数法)因为f′(x)=aex-1，当a≤0时，f′(x)≤0，所以f(x)在R上单调递减，至多一个零点，不符合题意.当a>0时，令f′(x)<0，解得x<-lna.令f′(x)>0，解得x>-lna，所以f(x)在(-,-lna)上单调递减，在(-lna,+)上单调递增.所以fmin(x)=f(-lna)=1+lna-2a.令φ(a)=1+lna-2a(a>0)，则令φ′(a)>0，得令φ′(a)<0，得x>所以-ln2<0，即φ(a)<0，f(-lna)<0，所以函数f(x)有两个零点，符合题意.综上所述，实数a的取值范围是(0,+).

图2

点评本题解法1利用分离参数法，使得构造的函数中不含参数，避免了参数的分类讨论，但构造的函数定义域改变了，函数不连续了，函数图象变得复杂了， 研究时因容易忽略函数定义域或图象特征把握不准确导致错误. 解法2利用直接构造函数法，通过导数研究函数的图象与性质，需要对参数的不同取值情况分类讨论，是常规思路，但解题后半部分容易出现“卡壳”，不易得出最后结果.解法3利用隔离构造函数法，构造两个比较熟悉的基本初等函数，结合图象容易得出结论，是学生比较喜欢的方法，此法解答小题是比较适合的方法.解答题的求解在前两种方法无法突破时，也可以尝试通过此法探求结果.