刘树江

(山东省临沂临港经济开发区第一中学 276624)

不等式恒成立问题是高考和竞赛的热点和难点,又是每年高考题中常考的一个问题,在选择题、填空题和大题中都有出现, 此类题目一般综合性强,同时兼顾考查“函数与方程”“化归与转化”“数形结合”“分类讨论”等数学思想方法.下面结合例题浅谈含参不等式恒成立问题的常见解题策略.

一、最值法

最值法是我们解决不等式恒成立问题最常用的一种方法，f(x)≥a恒成立⟺f(x)min≥a;f(x)≤a恒成立⟺f(x)max≤a.

例1(2019年高考全国Ⅲ卷·理23)设x,y,z∈R，且x+y+z=1．

(1)求(x-1)2+(y+1)2+(z+1)2的最小值；

解析(1)略

(2)因为[(x-2)+(y-1)+(z-a)]2

=(x-2)2+(y-1)2+(z-a)2+2[(x-2)(y-1)+(y-1)(z-a)+(z-a)(x-2)]

≤3[(x-2)2+(y-1)2+(z-a)2]，

二、分离参数法

不等式恒成立问题中，如果所求的参数能从不等式中分离出来，常常先进行分离，使参数和主元分别位于不等式的两边，然后构造函数，最后化归为最值法求解.

A．[0,1] B.[0,2] C.[0,e] D.[1,e]

解析当x=1时，f(1)=1-2a+2a=1>0恒成立:

所以2a≥g(x)max=0.解得a>0.

当x>e时，因为h′(x)>0,所以函数h(x)单调递增，

当1

所以a≤h(x)min=e.

综上可知，a的取值范围是[0,e].故选C.

三、数形结合法

若不等式应用直接求解比较复杂，可考虑对不等式的两边巧妙构造函数，借助函数图象，数形结合，直观形象，从而使问题快捷解决.

例3(2018年全国Ⅲ卷·文理23)[选修4—5:不等式选讲]设函数f(x)=|2x+1|+|x-1|.

(1)画出y=f(x)的图象;

(2)当x∈[0,+∞)时,f(x)≤ax+b,求a+b的最小值.

图1

图2

(2)由(1)知,y=f(x)的图象与y轴交点的纵坐标为2,且各部分所在直线斜率的最大值为3,故当且仅当a≥3且b≥2时,f(x)≤ax+b在[0,+∞)成立.因此a+b的最小值为5.

四、分段(类)讨论法

当不等式两边的函数具有不确定因素时，可以应用分类或分段讨论的方法处理.分类(分段)讨论可以使原不等式的不确定因素变化为确定因素，从而达……