甘志国

(北京丰台二中 100071)

一、有时“或”表示取并集(所有的对象都要取到)

例1 (教科书[1]第7-8页例1第(1)小题)解方程x2-8x+1=0.

解析移项，得x2-8x=-1.

配方，得x2-8x+42=-1+42.

即(x-4)2=15.

例3 (教科书[2]第35页例1)证明：与两条坐标轴的距离的积是常数k(k>0)的点的轨迹方程是xy=±k.

图1

证明(1)如图1，设M(x0,y0)是轨迹上的任意一点.因为点M与x轴的距离为|y0|，与y轴的距离为|x0|，所以|x0|·|y0|=k，即(x0,y0)是方程xy=±k的解.

(2)设点M1的坐标(x1,y1)是方程xy=±k的解，则x1y1=±k，即|x1|·|y1|=k.而|x1|,|y1|正是点M1到纵轴、横轴的距离，因此点M1到这两条直线的距离的积是常数k，点M1是曲线上的点.

由(1)(2)可知，xy=±k是与两条坐标轴的距离的积是常数k(k>0)的点的轨迹方程.

注因为xy=±k⟺xy=k或xy=-k，所以这里的“或”表示取并集(所有的对象都要取到)：题意即“与两条坐标轴的距离的积是常数k(k>0)的点的轨迹是由两条等轴双曲线xy=k与xy=-k组成的集合”.

另外，教科书[1]第34-35页给出了“曲线的方程”及“方程的曲线”的定义.

一般地，在平面直角坐标系中，如果某曲线C(看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹)上的点与一个二元方程f(x,y)=0的实数解建立了如下的关系：

(1)曲线上点的坐标都是这个方程的解；

(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点.

那么，这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线.

由此定义可知，曲线的方程(有时也叫做轨迹方程)是“一个二元方程f(x,y)=0”.

当然，由xy=±k⟺|xy|=k⟺x2y2=k2知，可把xy=±k看成“一个二元方程|xy|=k”或看成“一个二元方程x2y2=k2”.

为了简洁，还是建议把例1及其证明中的三处“xy=±k”均改为“|xy|=k”，把“x1y1=±k”改为“|x1y1|=k”；或者把三处“xy=±k”均改为“x2y2=k2”，把“x1y1=±k”改为“x12y12=k2”.

例4 (教科书[2]第37页习题2.1的A组第2题)求和点O(0,0),A(c,0)距离的平方差为常数c的点……