李泓竹

(吉林师范大学 研究生院,吉林 长春 130000)

1957年,Posner[1]给出了一些交换环的一些定理证明，这个定理给了后人研究环上性质新的方向.1989年，Bell和Kappe[2]证明出如果d为R上的导子，在R的非零右理想上作为同态或反同态，则d=0.2006年，Oukhtite和Salhi[3]提出σ-素环的一般性质，2008年，Asma Ali和Deepak Kumar给出了2-扭自由素环上广义(θ，θ)-导子的性质.本文主要是推广了Oukhtite[4]的相关结果到右(θ，θ)-导子上.

1 预备知识

设R是环，若aRb=0，有a=0或b=0，则称R为素环.设R是一个带对合σ的环，若aRb=aRσ(b)=0，有a=0或者b=0，并且2x=0，∀x∈R，都有x=0，则称R为2-扭自由σ-素环.设R是结合环，d是R上的可加映射，如果对于∀x，y∈R，都有d(xy)=d(x)y+xd(y)，那么就称d是R上的导子.设环R，θ是R上自同态，d是R→R上的可加映射，若满足d(xy)=θ(x)d(y)+θ(y)d(x)，∀x，y∈R，则称d是R上的左(θ，θ)-导子.根据左(θ，θ)-导子的定义，定义出右(θ，θ)-导子，即在相同条件下，满足d(xy)=d(x)θ(y)+d(y)θ(x)，∀x，y∈R.设环R，J是R的可加子群，∀u∈J,r∈R，有u°r∈J，则称J是R的Jordan理想.若R是σ-素环，J是R的Jordan理想，若满足σ(J)⊆J,则称J是R的σ-Jordan理想.在R上任意x,y，定义Jordan乘：x°y=xy+yx.

2 主要结果

引理1设R是2-扭自由σ-素环，J是R的非零σ-Jordan理想，d是R上的导子，如果d(J)=0，那么d=0或J∈Z(R).

定理设R是2-扭自由σ-素环，J是R上的非零σ-Jordan理想，θ是R上可与σ交换的一个自同构，d是R上的右(θ，θ)-导子，如果d(J)=0，那么d=0.

证明：∀j∈J,r∈R，因为j°r∈J，d(J)=0，

所以

由d(J)=0，故2d(r)θ(j)=0，又由于R是2-扭自由σ-素环，所以

d(r)θ(j)=0

(1)

在(1)中，用j°s替换j，得

d(r)θ(j°s)=0⟹d(r)θ(j)θ(s)+d(r)θ(s)θ(j)=0⟹d(r)θ(s)θ(j)=0

又可表示为d(r)Rθ(j)=0

(2)

由J是R的非零Jordan理想，有J∈σ(J)，结合(2)，有d(r)Rθ(σ(j))=0，所以d(r)Rσ(θ(j))=0=d(r)Rθ(j)

故有d(r)=0或θ(j)=0，所以d=0或J=0.因为J是非零的，矛盾.

因此，得出结论，d=0

3 结 语

本文主要研究了2-扭自由σ-素环上σ-Jordan理想上的右(θ，θ)-导子的性质，把Oukhtite的相关结果推广到了右(θ，θ)-导子上.希望对以后研究右(θ，θ)-导子上关于同态和反同态的性质有帮助.