徐梦豪，严兰兰

(东华理工大学理学院，330013，南昌)

0 引言

Bernstein多项式具有很多独特的性质，正因为如此，以Bernstein多项式作为基函数的Bézier方法拥有许多良好的特性。这使得Bézier方法自产生开始，便受到了来自工业界和计算机辅助几何设计(CAGD)学术界的广泛青睐[1]。虽然优点众多，但任何造型方法都不可能十全十美。Bézier方法的不足主要体现在2个方面：首先，Bézier曲线曲面的形状由其控制顶点唯一确定，当需要对形状进行修改的时候，唯一的办法是调整控制顶点，重新计算曲线曲面上的点。这种方式不仅操作起来不方便，而且如果控制顶点是来自实物的精确测量点，那么修改控制顶点本身就是勉为其难。另外，虽然Bézier方法可以表示灵活多变的自由曲线曲面，但却无法精确表示部分常见的初等解析曲面，只能采用近似表达，带来的后果是会引起设计误差，使原本简单的问题变得异常复杂。

对于Bézier方法的上述2个不足，有理Bézier方法在一定程度上能够克服，但有理方法自身又有其不足。例如：微分、积分等运算比较复杂，不恰当的权因子可能会破坏参数化。为了扬长避短，在保留Bézier方法优点的同时，避开上述这些不足，构造新的造型方法成为CAGD中的热点研究主题之一。

Bézier方法包括Bézier曲线、四边域张量积Bézier曲面、三角域Bernstein-Bézier曲面，这三者都面临着上述对于固定控制顶点形状无法调整的不便，以及无法给出除抛物线(面)以外的二次曲线(面)的精确表达的不足。

相对于曲面而言，曲线的结构比较简单，因此讨论更方便。……