陈宏健

【摘要】本文探讨一类带有无限次叠套运算的算式，类似于yn=n1+n1+n1+n1+…（n=2，3，4……） 的带有无限次叠套运算的算式，验证其收敛性，并在收敛的条件下转化为有限次叠套数列yn1=1，yn2=n1+n1，yn3=n1+n1+n1，…，ynk=n1+n1+n1+…+n1的极限，通过分析简单情形，归纳推导出一般情形，并且寻找解法，尝试将解决方法推广到其他无限次叠套运算中.

【关键词】无限次叠套;有限次叠套;收敛;有界单调递增数列

一、引言

数的叠套运算常见于实数的无限次重复运算中，其特征为每一步的运算又叠套在下一步的运算当中，层层叠套，直至无穷.例如初等数学中的无限连分数，高等数学中有关特定函数与极限、级数的问题，以及几何图形中的分形图，其中都有与无限次叠套运算相关的例子.

二、概念与记号

定义1带有无限次叠套运算的算式（n=2，3，4，……）

yn=n1+n1+n1+n1+…，

则有y2=1+1+1+…，

y3=31+31+31+…，

y4=41+41+41+41+…，

…，

yn=n1+n1+n1+n1+….

定义2假设k为有限次叠套次数，

则ynk=n1+n1+n1+…+n1k个 可取：

yn1=1，

yn2=n1+n1，

yn3=n1+n1+n1，

以此類推得出k次叠套数列：

ynk=n1+n1+n1+…+n1k个.

定义3当有限次叠套式ynk的极限存在时，无限次叠套式yn为有限次叠套式ynk的极限.

即当ynk的极限存在时ynk→yn（n→+∞）.

反之，当有限次叠套式ynk的极限不存在时，无限次叠套式yn发散.

定理1 当k→+∞时，有限次叠套数列

ynk=n1+n1+n1+…+n1k个 的极限存在.

这个证明分两部分：

（1）当k增加时，ynk为单调递增数列

（2）ynk为有界数列  （k=1，2，3……）.

证明（1）当n=1时，n1<n1+n1，

即yn1<yn2.

假设n=k时，ynk<ynk+1，

则当n=k+1时，n1+ynk<n1+ynk+1，

n1+n1+n1+…+n1k+1个<n1+n1+n1+…+n1k+2个

则  ynk+1<ynk+2.

由数学归纳法得ynk为单调递增数列，

即yn1<yn2<yn3<…<ynk（n=2，3，4……）.

（2）依据开方运算性质易知

nx<n-1x<…<x（x>0）.

则对任意的t（t=2，3，4，…，n-1），有

t+11+t+11+t+11+…+t+11k个<t1+t1+t1+…+t1k个，

即y（t+1）k<ytk，

1<ynk<y（n-1）k<y（n-2）k<…<y3k<y2k.

由于1+1<3，

1+1+1<1+3<3，

1+1+1+1<1+3<3，

以此类推，

有y2k=1+1+…+1< 1+3<3，

则1<ynk<3（n=2，3，4……）.

即 y2k，y3k，…，ynk当中的每个数列均为有界单调递增数列.

根据有界单调递增数列极限存在定理有

limk→∞=yn.

定理2当n→+∞时有限次叠套式