蔡雨欣， 王子丰， 尤苏蓉

(东华大学 理学院，上海 201620)

在随机时滞微分方程(stochastic delay differential equations, SDDEs)的研究中，当系数满足局部Lipschitz条件和线性增长条件时，方程的解存在且唯一。但很多的SDDEs并不满足线性增长条件，针对这类方程，文献[1]指出系数满足Khasminskii型条件时，方程的解存在且唯一。

随机微分方程(stochastic differential equations, SDEs)的精确解通常很难求出，构造方程的数值解并分析数值解的相关性质是SDEs的热门研究课题，常用的数值方法有Euler-Maruyama法、倒向Euler-Maruyama法、驯化Euler-Maruyama法、Milstein法以及Caratheodory法。目前，系数满足局部Lipschitz条件和线性增长条件的SDEs方程的数值解已得到广泛研究[2-6]。

对于非线性增长条件下SDEs的数值解问题，也有相关研究报道。如Hutzenthaler等[7]在高度非线性增长条件和单边Lipschitz条件下研究了这类方程的数值解。文献[8-9]提出的截断Euler-Maruyama法，可以用于求解系数满足局部Lipschitz条件和Khasminskii型增长条件的方程的数值解。此后，截断Euler-Maruyama法被应用于SDDEs的数值解分析中，得到了具有强收敛性和收敛速率的数值解[10]。文献[11]利用截断Caratheodory数值算法探讨了SDEs数值解的收敛性。截断算法在SDDEs的应用主要是截断Euler-Maruyama法与局部截断Euler-Maruyama法，目前还没有将截断思想应用于SDDEs的Caratheodory数值解的相关文献报道。本文将这种数值算法应用于SDDEs中，进而证明数值解的强收敛性。

1 问题背景及截断Caratheodory数值算法构造

若x∈n，用|x|表示其欧几里得范数。若A是一个向量或是矩阵，使用AT表示其转置，用表示它的迹范数。给定τ>0，用表示定义在[-τ, 0]上，取值于n的连续函数族。对于设(Ω,F, {Ft}t≥0,P)是一个完备概率空间，{Ft}t≥0是其上的一个σ域流，满足通常条件[10](单调递增且右连续，F0包含的所有P为零测集)。B……