关少清

【摘要】“数形结合”是一种重要的数学思想，也是解决数学问题的有效策略。在小学数学教学中应用“数形结合”，可以使复杂的问题简单化，抽象的问题具体化。本文主要围绕“数形结合”思想，分别从以“数”解“形”、以“形”助“数”、“数形结合”三方面展开论述。旨在说明“数形结合”是学好数学的一把金钥匙，可以促进学生问题解决策略的形成，逐步提高解决问题教学的有效性，全面提高小学生的数学素养。

【关键词】小学数学;问题解决;数形结合;策略;思想

《数学课程标准》在“解决问题”的总体目标上指出要“形成解决问题的一些基本策略，体验解决问题的策略的多样性，发展实践能力和创新精神。”小学作为学习的启蒙和基础阶段，教师应该以培养学生的数学素质为主，数学思想为重。而数学思想有很多，数形结合就是其中一种重要的思想方法，同时也是一种解决问题的有效办法，它是通过数与形的相互转化、相辅相成来解决数学问题的一种思维策略，使复杂的数学问题简单化，抽象的问题具体化。

数学家华罗庚说过：“数缺形时少直观，形缺数时难入微。”因此，在小学数学教学中应该渗透以及应用“数形结合”策略，借助图形的形象性和直观性研究数学问题，有助于小学生加深对数学知识的理解，从小培养良好的数学素质，为初中、高中的学习打好扎实的基础，作好衔接的准备。下面，笔者就“数形结合”在解决小学数学问题中的重要地位作简单的探讨。

一、以“数”解“形”，培养学生观察力

以“数”助“形”是数形结合思想的其中一種运用方式，即借助所给的图形，仔细观察，从而得出图形中蕴含的数量关系，寻找有规律的数学，培养学生多角度、多方面洞察问题的思考习惯，提高解决问题的能力。对于低年级的小学生而言，他们开始接触数学的时候都是借助大量的图画、形状、实物作为学习背景，支撑他们更好地理解数学知识。比如，一年级的解决问题，根据小学生的年龄特征和思维特点采用各种各样的小动物、图形等作为解决问题的直观材料，让小学生一看到算式就联想到图形，看到图形能联想到算式，可以切实、有效、直接地帮助他们正解理解加减法的意义。通过这样培养学生对图形数量关系的观察和分析能力，为以后掌握解决问题的技巧和本领打好基础。

二、以“数”解“形”，培养学生的严谨性

下面试着列举巧数图形的例子，只想说明一点就是以“数”助“形”不但能使计数结果更周全、更严密，在一定程度上还可以培养学生思维的严谨性。在小学阶段数图形的类型有很多，包括数线段、数角、数长方形、数三角形、数平行四边形等。而图1、图2、图3都属于有明显规律的数图形，像图4是属于规律不明显的数图形。其实不管什么样的图形，都必须掌握数数的方法，从数学角度来说就是要“数形结合”。像图1数线段时，可以根据左端点进行分类。以A为左端点的线段为AB、AC、AD，共有3条;以B点为左端点的线段为BC、BD，共2条;以C点为左端点的线段有CD，共1条，以D点为左端点的线段不存在。因此共有3+2+1=6（条）线段。图2数角的个数和图3数三角形的个数同样需要按一定的顺序去数，可以采用与数线段类似的方法，在这里就不作详细说明了。像图4可以采用按基本图形组合的方法来数平行四边形，把图中一个平行四边形看作1个单位的基本图形。由1个单位构成的平行四边形有5个;由2个单位构成的平行四边形有5个;由3个单位构成的平行四边形有1个;由4个单位构成的平行四边形也有1个;由5个单位或以上构成的平行四边形不存在。所以图4共有5+5+1+1=12（个）平行四边形。当然前面提到的用以“数”论“形”的方法来发现数学规律需要教师和学生共同去摸索和推导。在教学活动中，教师可通过小组合作学习的形式让学生经历自主探究的思考过程，培养严谨的数学思维的同时，让学生们真正体会到学数学的趣味和价值所在。

三、以“形”助“数”，把数学问题直观化、形象化

小学生正处在以形象思维向抽象思维过渡的发展期。在问题解决过程中，学生通过作一些线段图、集合图、路线图、立体图形等，可有效把数学问题直观化、形象化。画图作为辅助工具，在小学数学中例子有很多。从教材内容来看，如，三年级下册“数学广角”的集合问题：班上的学生每人参加一个课外小组，有21人参加了歌唱组，有28人参加了书法组，有6个学生两个小组都参加了，求班上有多少个学生？

借助画图，数学问题一下子变简单多了，图中学生会容易看到中间的6人是重复计算的部分，求班上的总人数时应该减去那部分人数，所以算式为21+28-6=43（人）。在教师的引领下，让学生自主地利用以“形”助“数”的方法去解决不同的数学问题，比起教师苦口婆心地解说、分析，效果要好得多。或许一开始学生会不习惯利用作图来解答，但只要教师耐心地多创造一些机会让他们体验数形结合的乐趣，相信学生们会很快就喜欢上这种解决问题的策略办法。

此外，像四年级的烙饼问题，五年级下册求物体表面积、体积、路程问题，及至六年级的数学问题——“鸡兔同笼”等都可以引导学生通过画图来帮助思考，这样对于正确理解和分析问题的数量关系也有很大的帮助。

四、以“形”助“数”，帮助学生分析数量关系

“数形结合”除了能使问题的数量关系变得直观，在分析问题的过程中，把“数量问题”转化为“图形问题”，更有助于学生正确分析数量关系。

如，辽宁省抚顺市民主小学的王丽红教师在教学《植树问题》一课时，充分引导学生主动寻找解决问题的策略——数形结合，有效突破了这节课的重难点。下面与大家分享一下王老师在课上所做的一些有益的尝试：（1）渗透数学思想，埋下伏笔。一开始，王老师引入右边的植树情题图，并出示例题，与教材相比隐去了“两端都要栽”的提示，为学生开放性思考提供了很好的平台。在学生尝试解决这一问题的过程中，果然出现了多种不同的做法。有的认为100÷5=20（棵），有的认为100÷5+1=21（棵），有的认为100÷5+2=22（棵），他们都据理力争。在王老师的鼓励和引导下，学生想到了运用画图帮助自己说明理由，可见在第一环节的教学中已渗透了数学结合思想方法。由于在前面的争论中，学生已经对植树问题有了一个整体的认识，所以，当王老师完整呈现例题，补充了条件（两端都要栽）以后，学生很快就做出了完美的解答。（2）引导学生主动寻找解决问题的策略——数形结合。在教学过程中，画图的方法都不是教师直接给出的任务，更多起源于学生思考的需要，当拓展到敲钟问题时，教师同样不失时机地又一次引导学生回想前面用过的策略——画图，学生借助画线段图1个点表示敲一下，两点的间隔表示钟敲响后延长的时间。通过这样分析，学生思路清晰了，难题也就不攻自破了。

学生真实地体验到画图能有效帮助自己分析题意，难道还愁学生在以后解决问题过程中不用这个方法吗？只要学生体会到数形结合思想在解决问题过程中所发挥的重要作用，相信学生在今后将更有动力、更有信心学好其它数学思想方法，使他们受益终生。

五、深化“数形结合”，拓展学生的思维能力

从研究来看，数形结合思想同时运用了人体大脑左、右半脑的功能，能有效培养学生的直观思维能力，促进逻辑思维能力的发展。在教学过程中，教师要深化“数形结合”策略就要让学生充分领略策略的价值和意义，如果学生只是了解到运用策略能够解决一些典型问题，显然这样的体验是不够的。在教学策略时，教师可设计一些一题多解、具有探索性的数学问题，让学生在解决的过程中进一步明白到策略思想背后有着更强大的现实意义。笔者在教學人教版数学四年级上册第3单元“积的变化规律”时，充分利用教材提供的习题进行一题多变，引导学生通过数学结合，结果思路很快就理顺了，收到了很好的教学效果。题目是这样的：

2.下面这块长方形绿地的宽要增加到24米，长不变。扩大后的绿地面积是多少？

当时，学生自主阅读完题目后，几乎一下子都想不出办法来。经过引导，部分学生根据题意能够对示意图作进一步补充，如下图所示。

结合图形来思考，多数学生的思路都清晰了，并能分析长方形绿地的长由始至终都不变，变化的是宽的长度增加到原来的3倍，与原来花圃面积相比，扩大后的面积就是原来面积的3倍。学生很快就能结合新知识——“积的变化规律”列出算式：24÷8=3，560×3=1680（平方米），有的学生还是利用旧知识先求出长方形的长：560÷8=70（米），再求扩大后的面积：70×（8×3）=1680（平方米），当时两种做法教师都充分肯定了，大家也知道第一种方法更优化。小结了一番后，学生们都有所感悟，难能可贵的是他们在反思中体验到画图策略的价值，学习兴趣和热情因此而变得更浓厚了。

接着，教师继续变换情境，让学生试做：“公路边原来有一个长方形鱼池，长4米。因为修建公路的需要，鱼池的长增加到原来的2倍，这样鱼池的面积就增加了32平方米。求原来鱼池的面积是多少平方米？”与教材的习题相比，这题属于拓展题，目的在于让学生感悟画图策略在解决有挑战性问题中发挥的作用。果然学生在草稿纸上作出如图后，难题就迎刃而解了。

当然，面对不同的数学问题要选择不同的解决策略，“数形结合”虽然很实用，但它也不一定都适用于各类型数学问题。像猜想、类比、倒推、列表、验证等都是重要的思想策略方法，在数学学习中教师都可以适当点拔和引导学生尝试采用。

“问题是数学的心脏”，学习数学离不开解决问题，但解决问题不是最终目的，它是为了学生能够加深对知识的理解，提高问题解决的策略意识，提高思维能力、培养创新精神和实践能力。以上对小学生数学问题解决策略——数形结合思想的分析研究旨在说明“数形结合”是学好数学的一把“金钥匙”，教师要从数学发展的全局着眼，从具体的教学过程着手，有目的、有计划地在教学过程中渗透各种数学思想方法，逐步提高数学问题解决教学的有效性，全面提高学生的数学素养。

参考文献：

[1]赵继敏，陈树宇.“植树问题”教学实录与评析[J].广西教育，2006（12A）：2.

[2]杨佩.数形结合思想在小学数学教学中的渗透[J].读与写：教育教学刊， 2018（6）：1.

责任编辑  刘  勇