黄越霞

摘 要：例题、习题是课本的重要组成部分，而对例题、习题的答案寻求，学生一般不会有很大困难，使得我们常常忽略对例题、习题的深入挖掘和研究，从而丢弃了很多重要的教育资源。本文以课本中的一道例题为例，探究圆锥曲线中一类直线斜率乘积为定值性质及证明，以激发学生对课本例题、习题的研究兴趣，体验知识产生发展的过程，培养探究能力，发展创新意识。

关键词：探究;斜率乘积;定值;证明

高中数学课程应力求通过各种不同形式的自主学习探究活动，让学生体验数学发现和创造的历程，发展他们的创新意识。新教材中例题、习题作为巩固概念培养能力，体现新理念——正确的、科学的数学教学理念的主要载体，教学中应进一步充分地挖掘和研究。

题目1：设点A，B的坐标分别为（-5，0）（5，0），直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积为，求点M的轨迹方程。（课本选择性必修第二册P108例3）

该题如果视为轨迹问题其解答是比较容易的，但如果是从研究性角度思考、探索，其潜力却是巨大的。再看下面一题：

题目2：设点A，B的坐标分别为（-5，0）（5，0），直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积为，求点M的轨迹方程。（课本选择性必修第二册P121探究）

题目2与题目1作比较，你有什么发现？很快可以发现题目2与题目1条件中唯一不同之处是斜率之积由改为正的。这一条件的改变会发生什么变化？

通过解答我们发现：

题目1中的斜率之积改为，题目2中的点M的轨迹由椭圆变为了双曲线。由此和给我们有了进一步想象空间，当斜率之积这个值小于0时点M的轨迹是椭圆，斜率之积这个值大于0时点M的轨迹是双曲线。……