黄越霞

摘 要：例题、习题是课本的重要组成部分，而对例题、习题的答案寻求，学生一般不会有很大困难，使得我们常常忽略对例题、习题的深入挖掘和研究，从而丢弃了很多重要的教育资源。本文以课本中的一道例题为例，探究圆锥曲线中一类直线斜率乘积为定值性质及证明，以激发学生对课本例题、习题的研究兴趣，体验知识产生发展的过程，培养探究能力，发展创新意识。

关键词：探究;斜率乘积;定值;证明

高中数学课程应力求通过各种不同形式的自主学习探究活动，让学生体验数学发现和创造的历程，发展他们的创新意识。新教材中例题、习题作为巩固概念培养能力，体现新理念——正确的、科学的数学教学理念的主要载体，教学中应进一步充分地挖掘和研究。

题目1：设点A，B的坐标分别为（-5，0）（5，0），直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积为，求点M的轨迹方程。（课本选择性必修第二册P108例3）

该题如果视为轨迹问题其解答是比较容易的，但如果是从研究性角度思考、探索，其潜力却是巨大的。再看下面一题：

题目2：设点A，B的坐标分别为（-5，0）（5，0），直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积为，求点M的轨迹方程。（课本选择性必修第二册P121探究）

题目2与题目1作比较，你有什么发现？很快可以发现题目2与题目1条件中唯一不同之处是斜率之积由改为正的。这一条件的改变会发生什么变化？

通过解答我们发现：

题目1中的斜率之积改为，题目2中的点M的轨迹由椭圆变为了双曲线。由此和给我们有了进一步想象空间，当斜率之积这个值小于0时点M的轨迹是椭圆，斜率之积这个值大于0时点M的轨迹是双曲线。

因此，我们可以猜测如下：

（1）当斜率之积小于0时，点M的轨迹是椭圆;

（2）当斜率之积大于0时，点M的轨迹是双曲线。

推测的结论是否成立呢，接下来我们来看一般化的探究。

探究1：已知的两个顶点A，B的坐标分别为（-5，0）（5，0）。且AC，BC所在直线的斜率之积等于m（m≠0），求顶点C的轨迹方程。（课本选择性必修第二册P146复习参考题3第11题）

通过解答可得点C的轨迹是

（1）当m>0时，点C的轨迹是焦点在x轴上的双曲线（除去A，B两点）。

（2）当m<-1时，点C的轨迹是焦点在y轴上的椭圆（除去A，B两点）。

（3）当-1

（4）当m=-1时，点C的轨迹是圆心在原点的圆（除去A，B两点）。

这样能得出更有一般性的结论：

动点M到两定点连线的斜率之积为定值m（m≠0）

则动点M的轨迹方程为（除去A，B两点）。

事实上，把上述两定点A，B改成更具一般性的“关于原点对称的任意两点A，B”，一般性质又可以进一步推广如下：

设点A，B关于原点对称，两条动直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积为定值m（m≠0），则动点M的轨迹为有心圆锥曲线（除去A，B两点）。

（定义：圆、椭圆、双曲线都有对称中心，统称为有心圆锥曲线。）

以上过程不仅有效地培养了学生抽象概括的能力，也较深刻地揭示了例题、习题的本质，并通过对m的讨论体现了分类讨论思想，又培养了学生的思维品质。

教学中通过挖掘教材中的典型例题及习题的内涵、外延及其功能，并对它进行改编、拓展、延伸，是进一步深化课堂教学，激发学生探究兴趣，培养探索能力的有效方法。

于是得到下面更加一般的性质：

探究2：已知椭圆，A，B是椭圆上关于原点对称的两点，P是椭圆上任意一点，且直线AP，BP的斜率均存在，求证：直线AP，BP的斜率之积为定值。

证明：设点，

则，又因为A，B，P都在椭圆上

，两式相减并整理得：

即

即直线AP，BP的斜率之积为。

由以上的证明方法同理可证双曲线有以下类似的性质。

探究3：已知双曲线，AB是双曲线上关于原点对称的两点，P是双曲线上任意一点，且直线AP，BP的斜率均存在，求证：直线AP，BP的斜率之积为定值。

为巩固这一成果，体会解题过程中隐含的方法技巧，特设计两道练习题。

练习1：已知椭圆，A，B是椭圆上关于原点对称的两点，P是椭圆上任意一点，且直线AP，BP的斜率分别为，，若的最小值为，则椭圆的离心率为_______

解：由探究2的结论可知

即即

即

练习2：已知双曲线，A，B是双曲线上关于原点对称的两点，P是双曲线上任意一点，且直线AP，BP的斜率均存在，且直线AP，BP的斜率之积为2，则双曲线的离心率是_______

解：由直线AP，BP的斜率之积为定值

上面两道题目的共同点是都有2个关于原点对称且和斜率有关，故可直接用结论解决，大大提高解题效率。

利用“直线AP，BP的斜率之积为定值”这个结论，我们又可以推出下面的结论

探究4：已知椭圆，过原点O的直线交椭圆于A，B两点，其中点A在第一象限，过点A作x轴的垂线，垂足为C，连结BC并延长交椭圆于点P，直线斜率PA，AB存在，则直线PA，AB的斜率之积为定值。

证明：设点

，

同样的如果把椭圆改为双曲线则得到以下结论：

探究5：已知双曲線，过原点O的直线交双曲线于A，B两点，其中点A在第一象限，过点A作x轴的垂线，垂足为C，连结BC并延长交双曲线于点P，直线PA，AB斜率存在，则直线PA，AB的斜率之积为定值。

练习3：已知椭圆，过原点O的直线交椭圆于A，B两点，其中点A在第一象限，过点A作x轴的垂线，垂足为C，连结BC并延长交椭圆于点P，若，则椭圆的离心率为______

解：由探究4可知

∴2b2=a2即

因为椭圆和双曲线既是中心对称图形，又是轴对称图形。上述探究中的条件过P作x轴的垂线，改成过P作y轴的垂线又可以得出下面的结论

探究6：已知椭圆，过原点O的直线交椭圆于A，B两点，其中点A在第一象限，过点A作y轴的垂线，垂足为C，连结BC并延长交椭圆于点P，直线斜率PA，AB存在，则直线PA，AB的斜率之积为定值。

证明：设点

，

因此，平时在教学中不能仅仅满足于完成习题得到结果，而更要对条件和结论多反思、多总结，看是否有通性共性的知识隐藏在里面，经常这样做，不仅可以提高学生的数学能力，也可以提高教师的教学水平。解析几何题目中的定值问题是高考中的热点、难点，很多学生感到无从下手。但是由前面的探究我们可以发现，其实这些热点、难点问题都是由课本的习题演化而成，正所谓源于课本，高于课本。其实，只要平时注意积累，掌握一些课本外的结论，摸清题目的背景，解题时就能快速找准方向，从而事半功倍。

结束语

通过本例的证明与拓展，学生掌握了相关的知识与技能，体会到知识的联系与综合，这说明只要我们重视教材的使用，在处理教材问题时不浅尝辄止，注意引导学生吃透课本典型问题的内涵，挖掘这些问题的潜在价值，并鼓励学生对它们进行力所能及的类比，就可以让学生变得更轻松，更主动，并使他们在创造性思维能力得到发展的同时，体会到学习数学的乐趣。课本上的不少例题、习题背景丰富深刻，解题思想耐人寻味，是最好的探究素材，若教师有意识地去引导学生探究和挖掘，往往会得到一些有价值的结论和重要的解题思想，同时对激发学生的探究兴趣，培养学生的创新能力和理性精神均大有裨益。

参考文献

刘占溪.挖掘习题资源 培养思维品质[J].中学数学教学参考，2006（8）：16-17.