广东省湛江一中培才学校(524037) 魏 欣

广东省雷州市第八中学(524232) 邓春梅

球相关的切、接的最值问题是立体几何的一个重点、难点,也是高考和高中数学竞赛中考查的一个热点,从“几何作图”和“分析图形”两个角度考查直观想象核心素养,考察考生的空间想象能力和逻辑思维能力,同时考查数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算的核心素养,也是考生的难点、易失分点.要解决这一难点,关键是找到反映“切、接”的几何量集中的一个截面,并找到这些几何量所满足的关系式.下面就2020年广东省佛山市高中毕业班第一次教学质量检测理科数学第16 题进行详细分析、探究其规律,并归类和总结对此问题的求解策略.

一、题目展示与分析

题目(2020年广东省佛山市高中毕业班第一次教学质量检测理科数学第16 题)在平面四边形ABCD中,沿直线AC将ΔACD翻折成ΔACD′,当三棱柱D′ -ABC体积取得最大值时,该三棱锥的外接球表面积为____.

解析 方法一(坐标法)在ΔACD中, 由余弦定理可得:cos ∠CAD=因为∠CAD ∈(0,π), 所以∠CAD=在ΔABC中, 由余弦定理可得:cos ∠CAB=因为∠CAB ∈(0,π),所以∠CAB=,所以∠BAD=,又因为AB=AD=所以ΔABD为等腰三角形,BD= 2,设AC、BD交于点F,因为在四边形ABCD中,AB=AD,CB=CD,所以AC ⊥BD,则AF=BF=DF=D′F=1,因为AC=4,所以CF= 3, 沿直线AC将ΔACD翻折成ΔACD′, 当三棱柱D′ -ABC体积取得最大值时,平面D′AC ⊥平面ABC,如图1 所示,建立空间直角坐标系,

图1

则A(0,0,0),B(1,1,0),C(0,4,0),D′(0,1,1),设三棱锥D′-ABC的外接球的球心为P(x,y,z), 由球心到球面上的距离相等可知:解得球心坐标P(-1,2,-1).设该三棱锥的外接球的半径为R, 所以三棱锥D′ - ABC外接球的半径为所以该三棱锥的外接球的表面积为S=4πR2=24π.

图2

方……