广东省佛山市顺德区第一中学高中部(528300) 杨志龙

1 提出问题

人教A 版《选修2-3》P.58 的“探究与发现”中有这样一个问题:“服从二项分布的随机变量取何值时,概率最大? ”课本先由具体实例出发:如果某射手每次射击击中目标的概率为0.8,那么他在10 次射击中,最有可能击中目标几次? 然后提出更一般性的思考:如果X ～B(n,p),其中0＜p ＜1,那么当k由0 增大到n时,P(X=k)是怎样变化的?k取何值时,P(X=k)最大?[1]

我们知道P(X=k)=, 其中p+q=1,p,q ∈R+.上述问题可转述为:已知0＜p ＜1, 当k由0 增大到n时, 关于以k为自变量的离散型函数(数列)f(k)=是否存在最值,其最值是多少? (问题1)

如果n,k固定,将p视作自变量,再提出另一个问题:已知0＜p ＜1,p+q= 1,P(X=k)=又可以看作一个关于p的连续型函数f(p)=那么当p取不同值时,f(p)是否存在最值,其最值是多少? (问题2)

2 视角1:“代数法”探究最值问题

2.1 以k 为自变量

问题1探究函数f(k)=(k=0,1,2,...,n),p+q=1,p,q ∈R+的最值取得情况,其中k为自变量.

问题1 的解答

(1)当k1∈(0,1)时,如图1,f(k)为一个单调递减数列,M=f(0),m=f(n);(结论1)当k1=1 时,如图2,f(k)为从第二项起的单调递减数列,M=f(0)=f(1),m=f(n).(结论2)

(2)当k1∈(1,n)时,若k1/∈Z 时,如图3,f(0)＜f(1)＜··· ＜f([k1]-1)＜f([k1])＞··· ＞f(n -1)＞f(n),M=f([k1]),m= min{f(0),f(n)}.(结 论3)(注:[x]为取整函数, 表示不大于x的最大整数, 以下同)若k1∈Z 时, 如图4,f(0)＜f(1)＜··· ＜f(k1-1)=f(k1)＞··· ＞f(n-1)＞f(n),M=f(k1-1)=f(k1),m=min{f(0),f(n)}.(结论4)

图1

图2

图3

(3)当k1=n时,如图5,f(k)从第1 项到第n项为递增数列,第n+1 项与第n项相等,M=f(n-1)=f(n),m=f(0).(结论5)当k1＞n时,如图6,f(k)为一个单调递增数列,M=f(n),m=f(0);(结论6)

图4

图5

图6

(笔者按:为了方便观察, 上述图象实际为将f(k)的图象纵向拉伸10 倍,以n=7,p取不同情况下用GEOGEBRA软件绘制, 其中n,p依次满足:图1:n= 7,p= 0.1; 图2:n= 7,p= 0.125; 图3:n= 7,p= 0.30; 图4:n= 7,p=0.25;图5:n=7,p=0.875;图6:n=7,p=0.9.)

2.2 以p 为自变量

问题2探究函数f(p)=(k=0,1,2,··· ,n,n ∈Z+,0＜p ＜1,p+q=1)的最值取得情况,其中p为自变量,n,k为常数.

问题2 的解答 由

可知,

(1)当k= 0 时,f′(p)＜0 恒成立,f(p)在(0,1)上单调递减,f(p)无最值;(结……