湖北省监利市实验高级中学(433300) 万平方

圆锥曲线中的定值问题是高考的热点和难点问题之一,定值问题动中有静,静中有动,变化中有不变,解决此类问题需要动中窥静,以静制动.定值问题与定点问题可以相互转化,它们背后往往蕴藏着丰富的几何背景,探究问题的背景,能拓展思维空间、培养合情推理能力与发散思维能力.

2020年高考数学北京卷第20 题保持了北京卷“入口易、口径宽、深入缓、出口难”的一贯风格,表面是求值问题,实质是定值问题.它以能力立意,强调数学方法和数学本质的考查,考查解析几何中的主要方法,需要学生具备一定的数学运算核心素养,并能够程序化思考问题.此题背景熟悉、解法多样,细细品读实感底蕴深厚,余味绵长.

题目(2020年高考数学北京卷第20 题)已知椭圆过点A(-2,-1),且a=2b.

(Ⅰ)求椭圆C的方程;

(Ⅱ)过点B(-4,0)的直线l交椭圆C于点M,N,直线MA,NA分别交直线x=-4 于点P,Q.求的值.

本题(Ⅰ)比较简单,容易求得椭圆C方程为:1.本文只对(Ⅱ)进行研究.

1 解法探究

解析几何的核心思想是用代数方法研究几何问题,解题过程中,首先要用代数语言描述几何要素及其关系,实现几何条件代数化.因此,必须重视对几何关系的深人研究,探究用代数形式恰当表示几何关系,方便代数运算,形成正确的解题策略.

(Ⅱ)的条件中涉及椭圆、4 条直线和6 个点.4 条直线中一条已知, 另外三条都是三点共线的动直线.6 个点中M、N、A三点在椭圆上,P、B、Q三点在定直线上.三条动直线如何表征,M、N在椭圆上……