广东省佛山市罗定邦中学(528300) 龙 宇

广东省佛山市顺德区教师发展中心(528300) 王常斌

在高中阶段解三角形问题,主要利用正弦定理与余弦定理.其数学思想是将几何问题代数化,通过两个定理将几何关系转化为一系列的方程,通过求解方程的解,再对所获得的解进行几何解释,这与解析几何的思路是一致的.虽然利用正、余弦定理求解思维量较小,但运算量较大,且放弃了三角形的几何性质.本文利用轨迹的思想,从“形”的角度来求解三角形问题.

一、构造圆

(一)构造外接圆

在初中阶段,我们便熟悉定理:在圆中,直径所对的圆周角为直角.逆向运用该定理,可发现在直角三角形中,当斜边长固定时,斜边所对的顶点的轨迹为一个圆(去掉两个点).

命题在ΔABC中, 角A,B,C所对的边为a,b,c, 若边a及角A为定值,则点A的轨迹为一段圆弧,特别地,当A=90◦时,对应的轨迹为圆(去掉两个点).

证明如图1,设A为钝角,以BC的中点O为原点,以BC为x轴,过点O作BC的垂线为y轴建立直角坐标系.利用正弦定理:

图1

考虑ΔPBO,利用勾股定理可得:y=即可得ΔABC的外接圆的圆心顶点,半径为定值,即ΔABC的外接圆为一个定圆,故可得点A的轨迹为劣弧BC.

当A为锐角时, 则对应的轨迹为优弧BC, 特别地, 当A=90◦时,对应的轨迹为圆(去掉两个点).证毕

在高考中,也常常以该定理为背景进行命题.

例1(2013年高考新课标ⅠⅠ卷第17 题)在ΔABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知a=bcosC+csinB.

(1)求B;

(2)若b=2,求ΔABC面积的最大值.

例2(2014年高考新课标Ⅰ卷第16 题)已知a,b,c分别为ΔABC的三个内角A,B,C的对边,a= 2, 且(2 +b)(sinA -sinB)= (c - b)sinC, 则ΔABC面积的最……