滕宪斌，萧信杰，杨期江，吴科伟，何逸华，郭泽丰，张志斌

(广州航海学院轮机工程学院，广东 广州 510725)

0 引言

旋转机械在升降速、起停机等变工况情况下，或受到外界气流激振、冲击等复杂激励时，转子运行转速是瞬时变化的。由于传统时频分析方法对提取转子瞬时基频信号的能力有限，因此许多学者采用小波变换方法对线性调频信号进行时频分析与参数化时频分析。张晓松等[1]通过特征尺度的小波系数模极大值分析线性调频信号；肖金国等[2]利用参数化时频分析方法对进动锥裙目标微多普勒曲线进行提取；黄鑫等[3]提出了基于参数化时频分析的转子全工况动平衡方法；杨金钊等[4]利用参数化时频分析及主成分分析的滤波方法，对降维信号做时频分析，提取其中的非平稳信号；尚朝轩等[5]通过短时自适应高斯包络线性调频基信号分解算法来增强时频中心定位的准确性；杨扬等[6-7]的参数化时频分析方法(parameterized time-frequency analysis PTFA)可以准确估计转子启停机过程的瞬时转速。

本文基于多项式调频小波变换参数化时频分析方法[8-9]，对模拟仿真信号进行短时傅里叶变换与多项式调频小波变换，从理论上验证多项式调频小波变换在提取基频信号脊线函数的可行性，并对轴承转子实验台中采集到的电涡流信号进行多项式调频小波变换，准确提取转子振动基频信号的时频脊线曲线函数，进而利用转子振动基频信号与转速存在正比的关系，实现转速信号的提取。

1 多项式调频小波变换原理及其变换核参数估计

1.1 多项式调频小波变换原理

多项式相位信号的模型为：

(1)

多项式调频小波变换数学定义如下[9]：

(2)

(3)

根据式(2)，将多项式调频小波变换原理用图形描述，具体如图1所示[8]。

1.2 多项式调频小波的变换核参数估计

准确估计多项式核参数是决定多项式调频小波变换的关键。多项式变换核参数与真实时频特征脊线匹配率越高，参数化时频表示时集中度越高，原始信号时频特征的刻画越准确。

首先对非线性调频调幅信号s(t)做Hilbert变换，得到解析信号z(t)=s(t)+jH[s(t)]，根据解析信号的瞬时频率构造多项式核函数。由于采用初始化核参数的多项式调频小波变换的时频表示聚集性较低，因此需要进一步对多项式和参数进行优化。解析信号的能量主要集中在阶数越小的频率分量的脊线上，且当时频表示集中性较高时，其在任意时刻的频率有唯一的峰值，因此在多项式调频小波变换的时频表示中，沿时间轴对频率进行检峰，可得到各自相应的脊线位置。最后利用最小二乘法拟合相应脊线，使得拟合曲线的频率数据点与相应脊线的频率数据点之间误差的平方和为最小，具体如式(4)所示。

(4)

(5)

当最优的多项式变换核参数确定后，即可得到对应的最优频率旋转算子、频率平移算子以及与解析信号匹配度最高的高斯窗函数。利用最优的频率旋转算子以及频率平移算子将解析信号z(t)在时频面内旋转与平移，最后采用由最优多项式变换核参数确定的高斯窗函数，对经过旋转、平移后的解析信号进行短时傅里叶变换，使得多项式调频小波变换的频域分辨率最小。

多项式调频小波变换的基本计算过程以及多项式变换核参数估计可用流程图进行描述，具体如图2所示。

2 仿真实验

本文采用的多项式调频小波变换方法能有效解调高阶调频信号，准确估计信号的瞬时频率。通过Matlab模拟仿真加白噪声的4阶多项式相位仿真信号，可验证多项式调频小波变换方法的优越性。采样频率设为200 Hz，仿真信号由模拟仿真信号s(t)和高斯白噪声n(t)两部分组成，可以表示为：

y(t)=s(t)+n(t)。

(6)

其中：s(t)=sin{2π[2t+(t2/4)+(t3/6)-(t4/440)]}，0

设定阀值ε=0.002，进行4次多项式调频小波变换，所得的时频分析结果分别如图3(a)～图3(d)所示。它们的分析窗口长度均设为512个点,拟合多项式级数的阶数为4阶。第1次多项式调频小波变换的变换核参数初始化为(c1,…,cn)=0，此时估计的变换核参数与真实的时频特征并不一致，时频表示效果较差，如图3(a)所示；当进行第2次多项式调频小波变换时，采用最小二乘法拟合，并检峰，得到的时频脊线与真实的时频特征基本相符，时频表示效果得到改善，如图3(b)所示；当进行第3次多项式调频小波变换时，变换核参数再次逼近多项式系数，时频表示效果比第2次更好，如图3(c)所示；最后一次多项式调频小波变换，因达到阀值的要求，此时多项式调频小波变换的频域分辨率与高斯窗频宽1/σ非常接近，得到的时频表示效果最佳，如图3(d)所示。

3 轴承转子实验数据分析

3.1 实验装置介绍及传感器布置

实验在Bently小型轴承转子实验台进行，该实验台主要由驱动系统、控制系统、采集系统及机械结构等部分组成，示意图如图4所示。为了降低外界振动对轴承转子系统的影响，在实验平台与轴承转子系统之间增加了减振支座，最大程度的隔绝外界因素对实验台的干扰。转速计实时测量转子的转速，分别在转子驱动端(近电机端)和自由端(远电机端)垂直方向两边斜45°位置各布置两个电涡流传感器，标记为 D1、D2、D3、D4，具体布置如图5所示。

设置两种工况：1)升速工况，转子从0升速到10 000 r/min；2)降速工况，转子从10 000 r/min降速到0。LMS系统采集两种状态下的电涡流位移振动信号，两种工况下的采样频率均为4 096 Hz，所采集的数据点数分别为495 616与368 640。

3.2 转子升降速阶段转速信号提取

采集转子振动电涡流位移信号的时域波形，升速时，波形图如图6(a)所示，降速时，波形如图6(b)所示。

采用多项式调频小波变换对转子升速与降速信号进行分析，达到设定阀值ε=0.002前共进行4次多项式调频小波变换，其中第4次得到较为准确的时频表示，具体如图7所示。采用12阶拟合多项式作为变换核来拟合提取转子升速与降速信号基频脊线时，多项式变换核与该信号时频特征匹配度最高。将提取得到转子升速与降速信号基频脊线坐标频率分别乘以60，得到估计的转子升速与降速转速信号。将真实转速曲线与估计得到的转速信号进行对比，具体如图8所示。依据误差值σ=|(真实转速-估计转速)/真实转速|。计算估计转速与真实转速的误差，得到转子升速过程中转速信号估计的平均误差为0.018，转子降速过程中转速信号估计的平均误差为0.012。同时在估计转速的开始、中间、结束各个阶段中任意取三组数据，并与真实的转速信号进行对比分析，具体如表1所示。

表1 转速信号实验数据记录及误差值计算

综上所述，利用本文方法提取转子升速与降速过程的转速信号是有一定效果的。

4 结论

1)采用多项式调频小波变换对确定的调频信号进行瞬时频率脊线提取，结果表明：多项式调频小波变换提取高阶调频信号的瞬时频率脊线的能力更优越。

2)采用多项式调频小波变换分别提取轴承转子实验台升速与降速实验中采集的电涡流振动信号的基频脊线，利用转子振动基频信号与转速呈正比的关系获得估计转速。对比分析估计转速与实际真实转速，结果表明：在升速与降速过程中转速提取平均误差分别为0.018与0.012,验证了本文方法的有效性。