一道中考压轴题引出的数学模型

2021-01-07戚文理

初中生世界 2020年47期

文戚文理

我们先来看一下2019 年四川绵阳数学中考第24题：

在平面直角坐标系中，将二次函数y=ax2（a＞0）的图像向右平移1 个单位，再向下平移2 个单位，得到如图1 所示的抛物线，该抛物线与x 轴交于点A、B（点A 在点B 的左侧），OA=1，经过点A 的一次函数y=kx+b（k≠0）的图像与y轴正半轴交于点C，且与抛物线的另一个交点为D，△ABD的面积为5。

（1）求抛物线和一次函数的表达式；

（2）抛物线上的动点E 在一次函数的图像下方，求△ACE 面积的最大值，并求出此时点E的坐标；

【分析】（1）先写出平移后的抛物线表达式，经过点A（-1，0），可求得a 的值，由△ABD的面积为5 可求出点D 的纵坐标，代入抛物线表达式求出横坐标，由A、D 的坐标可求出一次函数表达式；

（2）作EM∥y 轴交AD 于M，如图2，利用三角形面积公式，由S△ACE=S△AME-S△CME构建二次函数，利用二次函数的性质即可解决问题；

（3）如图3，作E 关于x 轴的对称点F，过点F作FH⊥AE于点H，交x轴于点P，则∠BAE=∠HAP=∠HFE，利用锐角三角函数的定义可得出，此时FH 最小，求出最小值即可。

【点评】本题主要考查了二次函数表达式的求法和数形结合的能力。要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系，解决相关问题。第（3）问是本题的压轴点，属于“胡不归”模型。

“胡不归”模型是一个非常古老的数学模型，也是历史上非常著名的难题，近年来逐渐成为各地中考的热门考点，很多同学不易把握。下面结合几个例子来说说这一模型。