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基于Parareal算法的CIR模型数值保正性研究

2021-01-04查厚瀛李永康方泽来师速利李欣刘翔

科技创新导报 2021年21期
关键词:收敛性

查厚瀛 李永康 方泽来 师速利 李欣 刘翔

摘 要:CIR(Cox-Ingersoll-Ross)模型本身对数值算法具有保正性要求。因此,本文进行了隐式Euler方法作为粗细因子、Milstein方法作为粗细因子等四种不同组合的Parareal算法對CIR模型的数值计算,数值研究了Parareal算法在不同扰动值下的保正性及均方误差收敛性。结果表明,上述考虑的Parareal算法具有均方收敛性和数值保正性。

关键词:CIR模型  Parareal算法  保正性  收敛性

Research On the Numerical Positivity-Preserving of the CIR Model Based on the Parareal Algorithm

ZHA Houying*  LI Yongkang  FANG Zelai  SHI Suli  LI Xin  LIU Xiang

(School of Science, China University of Mining & Technology, Beijing, 100089 China)

Abstract:CIR (Cox-Ingersoll-Ross) model itself has the requirement of preserving the correctness of the numerical algorithm. Therefore, in this paper, Parareal algorithm with four different combinations of implicit Euler method as the thickness factor and Milstain method as the thickness factor is performed for the numerical calculation of CIR model, and the positivity-preserving properties and the convergence of the mean square error of Parareal algorithm under different disturbance values are numerically studied. The results show that the Parareal algorithm has mean square convergence and numerical positivity.

Key Words: Cox-Ingersoll-Ross (CIR) model; Parareal algorithm; Positivity-preserving properties; Astringency

1  CIR模型介绍

Cox、Ingersoll和Ross于1985年撰写发布了两篇论文[1,2],提出了一个适用于简单完整经济体的具有时间连续特性的广义均衡单因素模型,并将此模型应用于检验资产价格的实际应用中。他们在利率期限结构的基础上进行深入研究,建立了Cox-Ingersoll-Ross模型,即CIR模型。CIR模型假设利率围绕一个平均值在一定范围内波动,其模型如下:

dX(t)=(θ_1-θ_2 X(t))dt+θ_3 √(X(t)) dω(t)               (1)

其中θ_1、θ_2、θ_3均为实常数,ω(t)表示Brown运动。由于CIR模型主要是描述短期利率的变化情况,而短期利率在现实中都是非负的,所以CIR模型需要严格保正。由(1)式不难看出,利率在均值μ附近上下波动,并以回复速率λ回复到均值μ,这说明CIR模型具有均值回复性。

近些年来,诸多学者进行了CIR模型的数值研究。蔡井伟、陈萍等学者用数值模拟和实证分析来验证分段时变参数CIR模型进行利率,汇率建模的可行性和合理性[3];张连增、段白鸽两位学者给出了CIR利率模型下永久年金现值变量的分布模拟[4];Wei利用最小二乘估计研究了离散观测下的小对称α稳定噪声驱动的Cox-Ingersoll-Ross ( CIR )模型的参数估计,得到了估计量的显式表达式[5];Cheng等学者导出了多元CIR模型下债券定价方程的显式扰动解,该计算方法对债券价格的评估是可行和准确的[6];Stamatiou等学者考虑了具有延迟和跳跃的均值回归CIR/CEV过程作为金融市场的模型,证明上述模型解的非负性,并利用半离散方法提出了一个显式保正数值格式,该格式在强意义下收敛于精确解[7];Yuan等学者分析一种基于分裂步方法的半解析数值算法及其在数学金融中的应用,将研究的算法与目前流行的一类基于Euler离散的数值格式进行了比较,比较了CIR模型下欧式看涨期权的准确性和计算时间与CIR模型下路径依赖期权的收敛速度[8];Aghda等学者研究了CIR模型的平衡隐式方法( BIM ),通过选择合适的控制函数,BIM提供了数值解,保持了模型解的非负性,此外,给出了该方法数值解的p阶矩有界性,并证明了方法的收敛性[9];Cen学者针对固定利率抵押贷款估值中的线性互补问题,给出了一个稳健的数值格式,在基本利率服从CIR模型的假设下,证明了该方法相对于利率几乎是二阶收敛的[10]。

2  Parareal算法

Parareal算法首先由Lions、Maday等人于2001年提出[11]。Turinici、Maday在2002年对Parareal算法做了进一步优化[12]。近些年,Parareal算法已经成为了研究比较广泛的时间域并行算法,在确定性的微分方程研究中有诸多成果。但在随机微分方程的研究中仍处于起步阶段,还有诸多问题亟待解决。在目前的数值计算方面,国内的吴树林、王志勇等学者对Parareal算法进行了理论研究[13],证明了Parareal算法在有限时间区间内是超线性收敛,在无限时间区间内是线性收敛的,这使得Parareal算法可应用于更多计算问题。国内的张利英学者给出了基于Milstein格式的Parareal算法的收敛性分析[14],并且针对具有弱阻尼和附加噪声的随机Schrödinger方程,提出了一种基于指数θ-格式的Parareal算法[15]。Legoll等学者研究了通过Parareal算法对具有时间尺度离散的随机微分方程的拟实计算以及数值收敛性研究[16]。Mayday等学者给出了一种Parareal算法的自适应变体,通过动态地提高细算法的精度,提升了算法的并行效率[17]。与其他并行算法相比,Parareal算法实现步骤简单,并行效率高。该算法的主要思想为:将一个大的计算时间域划分为若干个小的计算子区间,在整个时间域进行算法迭代的同时,也在子区间上进行迭代。这样既保证了最终数值解的精度,也提升了算法的计算效率。以随机微分方程(1)为例,给定初值后Parareal算法具体步骤如下:

步骤1:将整个计算域[0,T]以大步长ΔT对粗算法进行划分,共划为N个大区间[T_n,T_(n+1)],n=0,1,...,N-1由数值算法G在每个時间点上计算得到粗网格的初值。

{█(X_(n+1)^((0))=G(X_n^((0)),ΔT),n=0,1,...,N-1@X_0^((0))=X_0 )┤               (2)

步骤2:通过细算法F将粗网格再进行划分为细网格,即将大区间[T_n,T_(n+1)]以小步长Δt=ΔT/M一致划为M等分,并在每个大区间的左端点上以数值算法F进行迭代。

{█(X ̃_(n+(m+1)/M)^((k))=F(X ̃_(n+m/M)^((k)),Δt),m=0,1,...,M-1@X ̃_n^((k))=X_n^((k)) )┤            (3)

步骤3:在大区间[T_n,T_(n+1)]上进行串行校正。

{█(X_(n+1)^((k+1))=G(X_n^((k+1)),ΔT)+F(X_n^((k)),∆t)-G(X_n^((k)),ΔT),n=0,1,...,N-1@X_0^((k+1))=X_0 )┤  (4)

步骤4:判断迭代结果是否符合终止条件,如果是,终止迭代;否则返回步骤2,直到满足迭代收敛条件退出校正,并输出结果。

3 CIR模型的数值保正性

基于CIR模型和Parareal算法,记粗算法为G,细算法为F,我们利用如下四种不同粗细算法得到了新的CIR模型的并行算法格式。

选取粗算法G为Milstein算法,细算法F为Milstein算法。

〖G:X〗_(n+1)=X_n+ΔT(θ_1-θ_2 X_n)+θ_3 √(X_n ) ω(T)+1/2 〖θ_3〗^2 √(X_n )(〖ω(T)〗^2-ΔT)

〖F:X〗_(n+1)=X_n+Δt(θ_1-θ_2 X_n)+θ_3 √(X_n ) ω(t)+1/2 〖θ_3〗^2 √(X_n )(〖ω(t)〗^2-Δt)

X_(n+1)^((k+1))=X_n^((k))+Δt(θ_1-θ_2 X_n^((k)))+θ_3 √(X_n^((k)) ) ω(t)+1/2 〖θ_3〗^2 √(X_n^((k)) )(〖ω(t)〗^2-Δt)

+〖(X〗_n^((k+1))-X_n^((k)))+ΔTθ_2 (X_n^((k))-X_n^((k+1)))+θ_3 (√(X_n^((k+1)) )-√(X_n^((k)) ))ω(T)+1/2 〖θ_3〗^2 (√(X_n^((k+1)) )-√(X_n^((k)) ))(〖ω(T)〗^2-ΔT)

选取粗算法G为隐Euler算法,细算法F为Milstein算法。

〖G:X〗_(n+1)=(X_n+ΔTθ_1+θ_3 √(X_n ) ω(T))/(1+θ_2 ΔT)

〖F:X〗_(n+1)=X_n+Δt(θ_1-θ_2 X_n)+θ_3 √(X_n ) ω(t)+1/2 〖θ_3〗^2 √(X_n )(〖ω(t)〗^2-Δt)

X_(n+1)^((k+1))=X_n^((k))+Δt(θ_1-θ_2 X_n^((k)))+θ_3 √(X_n^((k)) ) ω(t)+1/2 〖θ_3〗^2 √(X_n^((k)) )(〖ω(t)〗^2-Δt)

+(〖(X〗_n^((k+1))-X_n^((k)))+θ_3 (√(X_n^((k+1)) )-√(X_n^((k)) ))ω(T))/(1+θ_2 ΔT)

选取粗算法G为显Euler算法,细算法F为隐Euler算法。

〖G:X〗_(n+1)=X_n+ΔT(θ_1-θ_2 X_n)+θ_3 √(X_n ) ω(T)

〖F:X〗_(n+1)=(X_n+Δtθ_1+θ_3 √(X_n ) ω(t))/(1+θ_2 Δt)

X_(n+1)^((k+1))=(X_n^((k))+Δtθ_1+θ_3 √(X_n^((k)) ) ω(t))/(1+θ_2 Δt)+〖(X〗_n^((k+1))-X_n^((k)))+ΔTθ_2 (X_n^((k))-X_n^((k+1)))

+θ_3 (√(X_n^((k+1)) )-√(X_n^((k)) ))ω(T)

选取粗算法G为隐Euler算法,细算法F为隐Euler算法。

〖G:X〗_(n+1)=(X_n+ΔTθ_1+θ_3 √(X_n ) ω(T))/(1+θ_2 ΔT)

〖F:X〗_(n+1)=(X_n+Δtθ_1+θ_3 √(X_n ) ω(t))/(1+θ_2 Δt)

X_(n+1)^((k+1))=(X_n^((k))+Δtθ_1+θ_3 √(X_n^((k)) ) ω(t))/(1+θ_2 Δt)+(〖(X〗_n^((k+1))-X_n^((k)))+θ_3 (√(X_n^((k+1)) )-√(X_n^((k)) ))ω(T))/(1+θ_2 ΔT)

本文中,选取粗细算法均为Milstein的格式,粗算法为隐Euler、细算法为Milstein的迭代格式、粗算法为显Euler、细算法为隐Euler,以及粗细算法均为隐Euler的4种组合算法,对CIR模型的保正性和均方误差收敛性进行研究。

4 模型保正性分析

为了使CIR模型数值解有实际意义,要求Parareal算法计算所得的数值解严格保正。以CIR模型(1)为例,对上述4种不同粗细算法组合的Parareal算法进行数值实验。

取初值X_0=0.5,θ_1=2,θ_2=1,细步长〖Δt=2〗^(-9),粗步长ΔT=8Δt。分别计算在扰动值θ_3=0,0.1,0.01,0.001情况下Parareal算法的数值解,并分析其是否具有保正性。

如图1所示,横轴表示粗步长,纵轴表示计算所得的数值解。在扰动值θ_3分别取0、0.1、0.01、0.001的情况下,均可观察到数值解从0.5开始呈单调递增趋势,即上述四种不同粗细算子组合的Parareal算法均具有保正性。

5 均方误差收敛性

仍以(1)为例,取初值X_0=0.5,θ_1=2,θ_2=1,细步长〖Δt=2〗^(-9),粗步长ΔT=8Δt,精度为10^(-15),取100条轨道,在没有扰动,即θ_3=0的情况下,真值可以计算为x_true=2-(3e^(-t))/2。应用上述4种不同粗细因子组合的Parareal算法求出数值解,计算数值解与真值的均方误差supE(〖|X^k-X_true |〗^2),基于不同的粗细因子,得到如图2所示结果。

图2中显示,在k取2后,4种不同粗细因子组合的Parareal算法的均方误差均接近10^(-7),这表明本文所研究的Parareal算法具有均方误差收敛性。

参考文献

[1]John C. Cox,Jonathan E. Ingersoll,Stephen A. Ross. Abstract: A Theory of the Term Structure of Interest Rates and the Valuation of Interest-Dependent Claims[J]. Journal of Financial and Quantitative Analysis,1977,12(4):385-407.

[2]John C. Cox,Jonathan E. Ingersoll,Stephen A. Ross. Duration and the Measurement of Basis Risk[J]. The Journal of Business,1979,52(1):325-341.

[3]蔡井伟,陈萍,梅霞.分段时变参数CIR模型及其实证研究[J].数学的实践与认识,2017,47(12):76-83.

[4]张连增,段白鸽.CIR利率模型下永久年金现值变量的分布模拟[J].系统工程学报,2014,29(1):56-65.

[5]Chao Wei. Estimation for the Discretely Observed Cox–Ingersoll–Ross Model Driven by Small Symmetrical Stable Noises[J]. Symmetry,2020,12(3):3-9.

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[8]Yuan Yuan. Non-Negativity Preserving Numerical Algorithms for Problems in Mathematical Finance[J]. Applied Mathematics,2018,9(3):313-317.

[9]A.S. Fatemion Aghda,Seyed Mohammad Hosseini,Mahdieh Tahmasebi. Analysis of non-negativity and convergence of solution of the balanced implicit method for the delay Cox–Ingersoll–Ross model[J]. Applied Numerical Mathematics,2017,118:250-258.

[10]ZHONGDI CEN. ROBUST NUMERICAL SCHEME FOR A FIXED-RATE MORTGAGE VALUATION MODEL UNDER CIR INTEREST RATES[J]. Asian Journal of Mathematics and Computer Research,2016,11(2):281-288.

[11]Lions Jacques Louis,Maday Yvon,Turinici Gabriel. A “Parareal” in time discretization of PDE"s[J]. Comptes Rendus de l"Academie des Sciences Series I Mathematics,2000,332(7):381-390.

[12]Yvon Maday,Gabriel Turinici. A Parareal in time procedure for the control of partial differential equations[J]. Comptes rendus - Mathématique,2002,335(4):387-392.

[13]吳树林,王志勇,黄乘明.Parareal算法的均方稳定性分析[J].计算数学,2011,33(2):113-124.

[14]L. Zhang, J. Wang, W. Zhou, et al.Convergence analysis of parareal algorithm based on Milstein scheme for stochastic differential equations[J]. Comput. Math., 2020,38(3): 487-501.

[15]J. Hong, X. Wang, L. Zhang. Parareal exponential θ-scheme for stochastic Schrödinger equations with weak damping and additive noises, SIAM[J]. Sci. Comput.,2019,41(6):B1155–B1177.

[16]Frédéric Legoll, Tony Lelièvre, Keith Myerscoughet, et al.Parareal computation of stochastic differential equations with time-scale separation: a numerical convergence study[J].Computing and Visualization in Science,2020,23(1-4):172-182.

[17]Y. Maday, O. Mula.An adaptive parareal algorithm[J].Journal of Computational and Applied Mathematics,2020,377:3-15.

通信作者:查厚瀛(2000—),女,本科在读,研究方向:统计学。     Email:1749775495@qq.com。

基金项目:本项目由北京市大学生创新训练项目资助(项目编号:202011413190)。

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