王 毳

（宁城县高级中学，内蒙古 赤峰 024299）

什么是数学？罗素认为，数学是一种没有内容，只有形式的逻辑体系[1]182-183。《辞海》中表述为：数学是一门研究现实世界中数量关系和空间形式的科学。可以看出数学与现实若即若离，一方面，数学通过完善自身的逻辑体系而得到发展；另一方面，数学又通过建立与现实世界的联系而获取活力[2]32-40。数学就是这样一门既抽象又具体的学科，那么教师如何才能将数学这门学科很好地发展传递下去呢？

高中新的一轮课程改革要求数学教师努力改进数学教与学的方式，倡导进行数学自主学习、数学合作学习和数学研究性学习。这类新型的教与学的方式加强了师生、生生间的对话交流，结合高中学生年龄特征、学生学习的兴趣，提高了学生的课堂参与度。但是由于教师对该新型的教与学的方式的内涵、原理等方面理解不够，所以在实施过程中出现诸多问题。调查发现，许多自称自主、合作、研究性学习的课堂上，课堂气氛活跃了，学生动手多了，学生说的话多了，老师说的话少了，但是学生动脑少了。学生参与到教学过程中只是表面现象，相当一部分学生只是凑热闹，没有或很少有实质性的智力活动[3]57-62。

笔者认为，这种只关注外在形式，忽略数学学科本质的学习过程并没有使学生真正获得数学学科的核心知识与技能，领悟到数学学科蕴含的思想方法，体验数学学科的价值及精神。这种基于知识的简单堆积和形式上的重复训练的“合作学习”对于促进学生理解数学基础知识、获得数学基本技能、提升数学素养等方面有很大的局限。如何让教师在有限的教学时间里加强师生间的有效互动交流，提高教学效率；如何让学生在课堂学习过程中，理解数学本质，如领悟数学思想和数学方法；如何通过提升学生学习数学的兴趣，获得高质量的课堂互动——这正是本研究的目的。

一、本原性数学问题理论

（一）本原性数学问题的内涵

不同学者从不同的视角对本原性数学问题的概念进行了如下界定：从教学理念上看，本原性数学问题追求的是从数学学科本身出发，在某个数学主题教学中让学生掌握该主题的数学本质，经历的是一种类似数学家的数学活动过程[4]。从问题意义上看，本原性数学问题指的是数学教学中把某个数学问题的要素或基本构成作为思考的第一问题[5]58-60。从宏观与微观层次上看，本原性数学问题可从两个层次理解，宏观上，帮助学生比较粗放地认识某个数学主题内容；从微观上，帮助学生精细地研究某个数学核心知识与技能，引导学生理解数学思想与方法[6]43-45。

从数学学科的全局观念上看，笔者认为，本原性数学问题就是指构成某数学主题的核心或基本要素。从知识层面上讲，本原性数学问题是指能够揭示某数学主题的基本概念，能够联系命题间的知识结构性问题；从思维层面上讲，本原性数学问题是指蕴含在某数学定理背后的数学思想与方法，能够激发学习数学的热情和提升认知水平的思维方式性问题。

从数学课堂教学的角度看，本原性数学问题的来源主要有两个方面：一方面来源于教师的教学设计，由教师根据数学学科结构体系、思想方法以及发展脉络，设计出适合所授主题的核心知识与技能的本质性数学问题；一方面来源于学生的朴素观点，由学生根据自身的学习习惯及认知水平，提出有关所学主题的朴素想法。前者意味着教师要有较为精深的学科素养，能够明晰学科知识结构，掌握学科主题概念；能够把握学科发展脉络，梳理清楚命题间的联系；能够领悟学科思想方法，较为熟练地运用数学学科素养解决实际问题。后者意味着教师要有较为深厚的教学素养，能够较为准确地把握学生的特点，敏锐地抓住学生提出的能够反映学科主题的朴素观点，并且合理地引导学生将朴素的观点转化为数学学科本原性问题[7]38-40。

（二）本原性数学问题的特征

1.存在性。本原性数学问题揭示了学科内容的要素和基本结构，是存在性的问题，需要在教学过程中发现并提出。教师的任务就是在教学过程中使学生对数学学科内容的要素和基本结构有深刻的认识与理解，促进学生对存在的数学学科知识的发现，引导学生对数学学科本原性问题的转化与理解，领悟数学学科本质。

2.互动性。本原性数学问题为教师与学生认知领域交集的问题，它在师生、生生的教学对话、互动中产生。首先教师要对数学学科本质有较为深刻的理解，然后根据学生的特点与学习习惯，教师将学生在课堂学习过程中产生的朴素想法进行引导，最后将学生产生的观点转变为实质性的数学学科问题。教师的任务就是具备敏锐的观察力，及时抓住学生的朴素观念，联系数学学科基本概念、方法，引导学生建立个性化的涉及数学学科本质的理解与结构。

3.开放性。本原性数学问题不拘泥于形式，问题形式多样，不唯一，能够揭示数学教学主题内容、核心内容及基本要素的关键问题即可。教师的任务为鼓励学生面对数学学科问题时，从不同角度对数学学科概念、思想进行联系，从而发展对数学学科本质的深刻理解，并在教学过程中努力营造平等和谐的学习氛围，加强师生、生生间的交流对话[8]48-50。

（三）本原性数学问题的产生条件

本原性数学问题的产生条件有两个方面：一方面要求教师要有精深的数学学科专业素养和深厚的教学素养。表现为教师能够准确地把握数学学科发展脉络、思想方法及结构体系，并且敏锐地抓住学生的朴素观点，及时进行引导，上升为对数学本质的理解。另一方面要求学生要有问题意识和反思能力。表现为学生根据自身认知水平及学习习惯提出有关数学主题的朴素观念，通过师生、生生间的交流，反思建构形成个性化的知识体系[4]。

（四）本原性数学问题的教育价值

本原性数学问题引领下的课堂教学，不但着力于学生对数学学科思想与方法的学习，而且更加关注师生间的相互学习。因此，本原性数学问题有以下两个方面的教育价值：

1.对于学生的价值。首先，当本原性数学问题来源于教师的精心设计时，该问题有利于学生对数学学科本质的理解，将合作探究的目标指向对所学学科本质的探究和理解上，能够帮助学生从不同侧面认识数学学科知识与结构，本原性数学问题引领下的课堂教学是揭示数学学科本质的动态教学过程。其次，当本原性数学问题来源于学生的朴素想法时，该问题有利于学生对数学知识的意义建构，培养对数学学习的兴趣，建立对数学学习的信心，本原性数学问题引领下的课堂教学是充满生机与活力的学习过程。再者，本原性数学问题有利于学生形成问题意识，传统教学方式下的学生提问往往是以师生间问答的形式进行的，缺乏创造性，这种方式培养出来的学生或许能够成为解题高手，但是绝不会成为具有创新精神的时代人才，本原性数学问题引领下的课堂教学是以学生为主体，教师为主导的生成式教学，给学生机会提出有关于该学科的最原始、朴素的想法，教师抓住其关键点并进行加工，使之成为反映数学学科主题的内容。最后，本原性数学问题有利于发展学生的交流与反思能力，本原性数学问题是由师生、生生共同生成的，在课堂教学过程中需要学生学会倾听不同的见解，并且准确地表达自己的想法，进而归纳不同看法，反思数学知识的本质，最终形成对数学学科的独特理解。

2.对于教师的价值。首先，本原性数学问题有利于提升教师的数学专业素养，若本原性数学问题由教师在教学设计中精心准备，在课堂中合理生成，则需要教师能够准确把握数学学科主题的本质内容，能够掌握该教育阶段数学学科内容的知识体系及数学学科的发展史，能够具备将数学学科的发展史融入教学设计中，根据具体的教学情境，改变教学策略以激发学生的学习热情。其次，本原性数学问题有利于发展教师的教学技能，若本原性数学问题由学生在课堂中提出，教师需要加工学生针对某数学主题内容的原始性想法，发展为能够体现数学本质的本原性数学问题，要做到确定、引导、重组学生对数学学科的认知结构，均需要较高的教学水平。再者，本原性数学问题有利于教师提升自身的问题意识，教师要善于发现学生的朴素观点，敏锐地抓住能体现数学学科本质的本原性问题并加以引导，教师的问题意识从何而来？不是从数学学科领域而来，而是从数学学科领域与学生的特点、学习习惯中来，是教师预设之外的问题。最后，本原性数学问题有利于提升教师的教学机智，本原性数学问题可以是教师根据所授教学内容的本质，设计好本原性问题，在教学活动中对学生加以引导；本原性数学问题也可以是学生在教学活动中自发地产生的针对教学内容的问题，这时就需要教师能够具备将学生提出的问题转化为符合该主题内容的本原性问题的能力[5]58-60。

二、本原性数学问题引领下的教学特征

问题引领是为达成学科教育目标所进行的思考，即通过提出适当的问题促进学生对学科知识的掌握，对学科结构体系的认识，对学科思想、方法的领悟，主要目的在于选择适当的问题来领导组织教学，以体现学科本质，达成学科教育目标[9]4-8。

（一）从知识层面组织数学教学

从学科知识内容角度分析，本原性数学问题围绕数学学科知识的核心内容展开，以本原性问题引领教学，能够使学生明确数学学科某主题内容的重点与难点，掌握学科知识技能。因此这类问题即为体现学科本质的本原性问题，此类本原性问题为引领某一节课或几节课的内容，也可以是某一阶段的全部学习内容，既能体现某学科主题的核心内容，又能起到联系其他主题的作用。通过提炼出的本原性问题，学生能够理解所学数学学科主题的要点，能够厘清与其他问题的逻辑关系，进而能够建构学科知识结构。以函数主题的学习为例：

1.函数的概念的课堂教学

（1）分析函数主题学习的意义：函数是现代数学最基本的概念，是解决现实世界变量关系和规律的最基本的数学语言和工具，在解决实际问题中日益发挥着重要作用，如气象预测、股市分析及计算科学的发展等。

（2）明确《普通高中数学课程标准（2017年版）》中关于函数主题的要求：①函数概念-函数性质-函数模型-解决问题的理解；②感悟运动变化、数形结合、极限思想等数学思想方法；③提升数学抽象、数学建模等数学核心素养。

（3）认识函数概念的核心内容主要从以下三个维度：第一个维度为变量说，函数是描述变量与变量之间依赖关系的模型，这种变量与变量之间的依赖关系为：当一个变量取一个定值，另一个变量凭借着变量之间的依赖关系有唯一确定的值与之相对应。第二个维度为对应关系说，函数是描述数集与数集之间的映射，这种特殊的对应关系可以用解析法、图象法和列表法进行表示。对比初中有关函数的单一的表示方法，这三种函数表示法从整体上体现了函数的工具性特点：解析法简明概括了变量间关系，方便运算；图象法直观形象地表示了自变量的变化和相应函数值变化的趋势；列表法可直接获得与自变量对应的函数值。对于这些本原性问题的探究可以更好地理解函数的本质。第三个维度为思想方法说，从数学思想上讲，函数用抽象的数学符号描述了具体数集之间的对应关系的数学特征，可应用于分析、处理和解决数学问题的过程之中，在中学数学教学中具体表现为：函数与方程思想、数形结合思想；从数学方法上讲，在函数思想指导下，为数学活动提供了思路和手段以及具体操作原则的途径、方式和手段等，在中学数学教学中具体表现为：数学思维方法（例如抽象与概括）、逻辑学中的方法（例如分析法、综合法）[10]12-16。

（4）梳理比较函数概念的安排和处理方式：①以函数概念的发展为线索介绍函数。以发展史-直观描述-数学抽象-数学表征为顺序安排教学活动。②以联系、整合为方法学习函数。联系初中函数概念，比较初中、高中函数异同，整合函数与方程、函数与不等式、函数与图象等学习内容。

2.设计引领函数概念教学的本原性问题

（1）“初中阶段的函数的概念是什么？”

（2）“为何到了高中阶段要重新定义函数的概念？初中与高中函数概念有何异同？”

（3）“能否构建出具体的基本函数模型？”

教师应该做到通过对学科结构体系的把握，及对课标和教材的研读，真正弄清什么是学科主题的本原性问题，什么可以看成相关问题和延续性问题。

（二）从思维层面组织数学教学

从学科思维方式的角度分析，本原性数学问题更加重视将学生的注意力由知识与技能转化为数学学科的思想与方法，将数学方法提炼出其蕴含的数学思想，将数学思想转化为本原性数学问题，如此便能够更清晰、更合理、更全面地对该学科的本质进行思考。什么是数学思想与方法？数学思想的标准有两个，其一是影响数学产生和发展的思想，其二是真正学过数学的人在思维上与普通人的区别。中学数学学习过程中所运用的方法均可提炼出其背后蕴含的数学思想，比如：列举法，其蕴含着数学分类思想；画图法，其蕴含着数形结合思想；转化法，其蕴含着化归与转化的思想[11]1-9。

1.函数的单调性的课堂教学

（1）函数主题性质的意义：函数的性质是变量关系所体现的运动变化过程中的规律，包括函数的单调性、函数的最值、函数的周期性、函数的奇偶性等。函数的单调性反映了函数的变化，决定了函数图象的走势。

（2）研究函数性质的思路：以发展学生数学思维为目标。①归纳法的思路，通过研究典型函数的性质，归纳得出函数的一般性质；②图象法的思路，首先观察所画函数图象，用自然语言描述出函数的变化规律，然后进行数学抽象，用数学语言描述函数的变化规律。

（3）函数的单调性所蕴含的数学思想方法有：变化思想、数形结合思想、运算思想、极限思想等。函数单调性所蕴含的本原性问题为：列表所蕴含的本原性问题为数学对象分类或概念划分思想，画图所蕴含的本原性问题为数形结合思想，列举所蕴含的本原性问题为数学分类思想，转化所蕴含的本原性问题为不变量思想与等量代换方法等[12]52-55。

（4）对于函数单调性的研究分为两个阶段：第一个阶段为利用不等关系的形式化定义研究函数的单调性，这个阶段的基本要素和构成为：①函数变量之间与变化方向的相互依赖关系；②这种相互依赖关系是在一定范围内讨论的；③通过任意两点大小变化关系来描述函数整体变化趋势。第二个阶段为利用导数研究函数单调性，这个阶段的基本要素和构成为：①导数的符号可以判断函数的单调性，函数图象可以画出；②利用函数单调性可以判断导数的符号。

2.设计引领函数单调性的本原性问题

（1）“什么是函数单调性？能否用自己的语言进行描述和概括？”

（2）“为什么要将函数单调性的描述转化为数学语言？”

（3）“如何描述基本函数的性质？”

教师应该利用思维方法带动具体知识与技能的学习，引导学生深入思考不同概念、方法、问题之间的联系，做到真正的学懂、学会、学透。

四、本原性数学问题引领下的教学流程

（一）确定教学内容

教学内容不仅局限于教材中的章节内容，而且要有很大的伸缩性，划分形式要多样化与个性化。以高中数学教学为例，有以下三种教学内容分类：（1）以知识内容为线索的主题类教学内容分类（函数主题、概率与统计主题、立体几何主题等），如函数主题学习内容包括函数概念、函数性质、基本初等函数、数列、不等关系式及导数及其应用；（2）以数学思想方法为线索的方法类教学内容分类（数形结合法、待定系数法等），如以数形结合思想组织教学内容，可包括：函数与方程、简单的线性规划、曲线与方程及导数及其应用等；（3）以数学核心素养为线索的素养类教学内容分类（数学抽象、数学建模等），数学核心素养类的教学内容的确定较为复杂，通常伴随主题类和方法类教学产生，如以数学抽象素养组织教学内容，可包括：函数主题与数形结合思想。

（二）分析教学要素

教学要素分析主要包括学科分析、课教分析、学情分析及重难点分析。学科分析就是从学科角度定位数学学科的本质内容（包括数学思想、数学方法以及数学核心素养），并且梳理数学学科知识结构体系。课教分析就是从课程标准分析，明确课程标准对教学内容的要求；从教材分析，把握教材对该教学内容的编排的方式和意图，从而加深对教学内容的理解。学情分析就是教师通过日常教学了解学生学习习惯、特点等。重难点分析就是明确教学内容重点与难点，以准确地制定教学策略。

（三）确立本原性教学目标

本原性问题引领下的教学目标主要有以下几个方面：在教学内容及要素分析的基础上，明确学科主题的核心内容及构成，确定知识技能目标；明确数学学科思想与方法，确定思想方法目标；根据学生的认知基础，确定符合学生认知水平的教学目标。比如函数最值的本原性教学目标可表述为：从学生认知水平上分析，什么是生活中的最值？用自然语言进行概括；从数学知识技能上分析，怎样用数学语言进行概括函数最值？从数学思想与方法分析，如何利用典型函数方程与图像验证某个值是否为最值？

（四）设计本原性数学问题

本原性数学问题的设计应注意以下几个方面：其一，要体现数学学科本质，培养学生的数学核心素养；其二，要关注学生的认知基础与认知水平，实现师生双方面的积极互动；其三，要重视数学学科结构与体系的展示，使问题具有连续性与延展性，能够实现知识之间的联系，方法之间的衔接；其四，要能激发学生学习数学热情，并且增强学生学习数学的信心。此外，刺激学生在课堂上提出针对学习内容的朴素想法亦是很有价值的。

（五）反思与归纳

针对教学过程中产生的本原性数学问题及本原性数学问题的解决过程，反思需从以下两个方面进行：一方面教师需要反思课堂上是否能够准确地抓住学生提出的朴素的本原性数学问题，并且加以引导加工为实质的本原性数学问题，与学生在数学学科交流上产生共鸣；另一方面学生需要反思课堂上最终形成的本原性数学问题与数学学科实质、结构体系的联系，能够用自己的语言解决本原性数学问题等。归纳需从以下两个方面进行：一方面教师需要归纳课堂上学生产生的朴素的原发性数学问题，总结学生的思维特点和学习习惯，另一方面学生应该以课堂上形成的本原性数学问题检验学习成果，并归纳总结形成个性化的数学知识结构[13]49-52。

五、总结

本原性数学问题引领下的课堂教学模式是从数学学科全局观念出发，对数学教学中存在的问题进行综合考量，提高课堂互动效率，从而帮助学生加深对数学学科本质的理解，提高学习数学的兴趣。该模式的教学特征及流程均体现其具有可操作性，易于在课堂教学中展开实施。对于数学教学而言，本原性数学问题引领下的课堂教学模式丰富了数学教学模式，有助于活跃课堂氛围，加强师生、生生间的合作交流，真正意义上实现了平等和谐的学习。对于教师而言，本原性数学问题引领下的数学教学促使教师加深对数学学科本质的理解，同时提升教师的素养和教学技能，发展教师的教学机智，真正实现教学相长。对学生而言，该模式增强了学生对于数学本质的探索，增加了学习数学的信心与兴趣，让学生学会将数学概念、理论内化为自己的知识结构，这在某种意义上真正实现了让学生学会学习[14]16-21。