刘杰 谭忠

【摘要】数学教学要培养学生具有初步的创新精神和实践能力，使学生在情感态度和一般能力方面都得到充分的发展.数学教学中培养学生的逆向思维能力、发散性思维能力、归纳演绎思维能力，对于学生创造力的养成有显著作用.本文从数学教学的若干问题浅析如何培养学生的创新思维能力.

【关键词】创新思维;一题多变;一题多解

引言

新课程改革以来，每年的统考、中考中出现了许多立意新颖的创新性试题.这类试题的出现说明以前“填鸭式”“满堂灌”的传统教学方法不再适用，教师应转变教学观念，努力营造一个自然、和谐、轻松的教学环境，为激活学生的思维能力和创造能力提供良好条件.作为教师，要认真领会新课标的核心理念——创新.在课堂教学中，教师要以培养学生的创新意识和探索能力为目标.根据实际的教学实践，本文将从以下几方面谈谈在课堂教学中如何培养学生的创新能力.

一、问题解决需要逆向思维

逆向思维是一种重要的思考能力，其对于学生的创造能力具有非常重大的意义.数学问题的顺利解答需要学生具备一定的逆向思维能力.那么教师在平时教学中就应经常把思考几何问题的方法和思路以明显的方式呈现出来，或者通过设问的方式引导学生从什么角度思考.例如平行四边形求解中有这样的试题.

例1（广东广州）如图1所示，在平行四边形ABCD中，AB=5，BC=10，F为AD的中点，CE⊥AB于E，设∠ABC=α（60°≤α<90°）.

（1）当α=60°时，求CE的长.

（2）当60°<α<90°时，

①是否存在正整数k，使得∠EFD=k∠AEF？若存在，求出k的值;若不存在，请说明理由.

②连接CF，当CE2-CF2取最大值时，求tan∠DCF的值.

解析（1）利用60°角的正弦值列式计算即可得解.

（2）①连接CF并延长交BA的延长线于点G，利用“角角边”证明△AFG和△CFD全等，根据全等三角形对应边相等可得CF=GF，AG=CD，再利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得EF=GF，再根据AB、BC的长度可得AG=AF，然后利用等边对等角的性质可得∠AEF=∠G=∠AFG，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠EFC=2∠G，然后推出∠EFD=3∠AEF，从而得解.

②设BE=x，在思考的过程中需要逆向思考，如求tan∠DCF的值，首先要求出CE2-CF2取最大值，然后才能求出tan∠DCF的值.在Rt△BCE中，利用勾股定理表示出CE2，表示出EG的长度，在Rt△CEG中，利用勾股定理表示出CG2，从而得到CF2，然后相减并整理，再根据二次函数的最值问题解答.

解（1）∵α=60°，BC=10，∴sinα=CEBC，

即sin60°=CE10=32，解得CE=53.

（2）①存在k=3，使得∠EFD=k∠AEF.理由如下：

连接CF并延长交BA的延长线于点G，如图2所示.

∵F为AD的中点，∴AF=FD.

在平行四边形ABCD中，AB∥CD，∴∠G=∠DCF.

在△AFG和△CFD中，

∵∠G=∠DCF，AF=FD，∠AFG=∠DFC，

∴△AFG≌△CFD（AAS），∴CF=GF，AG=CD.

∵CE⊥AB，∴EF=GF，∴∠AEF=∠G.

∵AB=5，BC=10，点F是AD的中点，

∴AG=5，AF=12AD=12BC=5，∴AG=AF，

∴∠AFG=∠G.

在△EFG中，∠EFC=∠AEF+∠G=2∠AEF，

又∵∠CFD=∠AFG，∴∠CFD=∠AEF，

∴∠EFD=∠EFC+∠CFD=2∠AEF+∠AEF=3∠AEF，

因此，存在正整数k=3，使得∠EFD=3∠AEF.

②设BE=x，∵AG=CD=AB=5，

∴EG=AE+AG=5-x+5=10-x，

在Rt△BCE中，CE2=BC2-BE2=100-x2.

在Rt△CEG中，CG2=EG2+CE2=（10-x）2+100-x2=200-20x.

∵CF=GF（①中已证），

∴CF2=12CG2=14CG2=14（200-20x）=50-5x，

∴CE2-CF2=100-x2-50+5x=-x2+5x+50=-x-522+50+254.

∴當x=52，即点E是AB的中点时，CE2-CF2取最大值.

此时，EG=10-x=10-52=152，

CE=100-x2=100-254=5152，

∴tan∠DCF=tan∠G=CEEG=5152152=153.

例2如图3所示，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，当直角三角板MPN的直角顶点P在BC边上移动时，直角边MP始终经过点A，设直角三角板的另一直角边PN与CD交于点Q，设BP=x，CQ=y，则y关于x的函数图像大致是（）.

分析从四个选项可知：y与x之间一定存在函数关系，y与x之间一定可通过三角形全等或相似等建立联系.这就需要逆向考虑问题.

解从图可知：△ABP∽△PCQ，则有ABPC=BPQC，

从而46-x=xy，y=14x（6-x）=-14x2+32x.

∵y是x的二次函数，它的图像不是直线，

∴选项A、B错误.

∵当x=3时，y=94，

∴从而可判断选项C错误，选项D正确.

几何证明题和解答题几乎都要运用反推的方法得解，那么逆向思维能力就显得特别重要.教师在教学中要有意识地引导学生这样来思考，进而养成逆向思维能力.

二、一题多解（变）需要发散性思维

在教学中，教师应结合教材内容，从新知与旧知、本类与它类、纵向与横向等方面引导学生展开联想，弄清知识之间的联系，以拓宽学生的知识面，开拓学生的思维，从而培养思维的广阔性和创新性.例如在学习三角形内角和定理、外角的性质时，设计了这样一个习题.

例3如图4所示，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，试判断∠A和∠D的关系.

分析先引导学生从问题出发，思考∠A和∠D应怎样联系起来.我们看到两个三角形，即△ABC和△BCD，并且这两个三角形的其他两个角是平分关系的，因此结合三角形内角和定理和角平分线的性质可以解出.

解∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，

即∠DBC=12∠ABC，∠DCB=12∠ACB，

∴∠DBC+∠DCB=12（∠ABC+∠ACB）.

在△ABC中，∠A+∠ABC+∠ACB=180°，

∴∠ABC+∠ACB=180°-∠A，

12（∠ABC+∠ACB）=12（180°-∠A），

∴∠DBC+∠DCB=12（180°-∠A）.

在△BCD中，∵∠D+∠DCB+∠DBC=180°，

∴∠D+12（180°-∠A）=180°.

化简得∠D=12×180°+12∠A=90°+12∠A.

学习了外角的性质后，题目改为：

[例3变式一]如图5所示，BD平分∠ABC，CD平分外角∠ACM，试判断∠A和∠D的关系.

分析相对于原题，这里改变的是内角平分线变为外角平分线，那么我们是不是从外角的性质考虑∠A和∠D的关系更加简便呢？这是肯定的.外角的性质定理：三角形的外角等于不相邻的两个内角和.结合外角性质定理和角平分线性质可以找出∠A和∠D的关系.

解∵BD平分∠ABC，CD平分外角∠ACM，

∴∠DBC=12∠ABC，∠DCM=12∠ACM.

∵∠ACM是△ABC的外角，∠DCM是△BCD的外角，

∴∠ACM=∠A+∠ABC，∠DCM=∠D+∠DBC，

∴12（∠A+∠ABC）=∠DCM=∠D+∠DBC，

12∠A+12∠ABC=∠D+∠DBC=∠D+12∠ABC，

∴12∠A=∠D.

[例3变式二]如图6所示，BD平分外角∠NBC，CD平分外角∠BCM，试判断∠A和∠D的关系.

这样改变条件后，解题涉及的知识点就更加综合了，包括三角形内角和定理、外角的性质定理和角平分线的性质.一题多变，对于学生思维的广阔性和创新性的养成很有好处，教师在日常教学设计中要多思考，适当改变条件，给学生更加灵活的课堂内容.

图7

例4如图7所示，在平面直角坐标系中，点A（6，0），点B（0，2），点P是直线y=-x-1上一点，且∠ABP=45°，则点P的坐标是.

分析此题要求出点P的坐标，就必须求出直线BP的表达式，然后联立直线y=-x-1，从而求出点P的坐标.

现在已知点B坐标，因此必须求出直线BP另一点坐标或者求出直线BP的斜率.下面的思考就是利用已知条件和已掌握的知识入手，要进行创造性思维，那就是要作辅导线，构造三角形全等或相似等，从而获得另一点坐标或求出直线BP的斜率.

解法一如图8所示，过点A作AC⊥AB，交PB于C，则由∠ABP=45°，得△ABC为等腰直角三角形.

再过点A作直线MN∥y轴，作BM⊥MN交于点M，作CN⊥MN交于点N.

∵点A（6，0），点B（0，2），

∴BM=OA=6，AM=OB=2.

∵∠ABM+∠BAM=90°，

且∠CAN+∠BAM=90°，

∴∠CAN=∠BAM.

∵∠M=∠N=90°，∴△ABM≌△CAN.

∵CN=AM=2，AN=BM=6，

∴C（4，-6），B（0，2）.

设直线BC的表达式为y=kx+b，将B，C两点代入，

∴-6=4k+b，2=b，

解得k=-2，b=2.

得直线BC表达式为y=-2x+2，

联立y=-x-1，解得x=3，y=-4，

∴P（3，-4）.

解法二如圖9所示，过点B作BC⊥AB，截取点C，使得BC=AB，CD⊥y轴于点D，连接AC，交BP于点M，则BM是等腰三角形ABC底边上的中线，△ABO≌△BCD，从而CD=BO=2，BD=OA=6，OD=6-2=4，则C点坐标（-2，-4）.

∵M是AC的中点，

∴M点坐标（2，-2）.

设直线BP表达式为y=kx+b，

∴-2=2k+b，2=b，解得k=-2，b=2.

直线BP表达式为y=-2x+2，联立y=-x-1，

解得x=3，y=-4.∴P（3，-4）.

解法三如图10所示，过点B作BC⊥AB，在BC截取点C使得BC=AB.

作CD⊥y轴于点D，连接AC交BP于点M，

则BM是等腰三角形ABC底边上的中线.

△ABO≌△BCD，从而

CD=BO=2，

BD=OA=6，

∴C点坐标（-2，-4），

∴直线AC的斜率

kAC=yA-yCxA-xC=0-（-4）6-（-2）

=48=12.

∵直线AC⊥直线BP，

∴kAC×kBP=-1，

∴kBP=-2，从而得直线BP表达式为y=-2x+2.

联立y=-x-1，解得x=3，y=-4，

∴P（3，-4）.

此题还有多种解法，大家可去研究.

三、特殊到一般需要归纳演绎

归纳思维是一种重要的逻辑推理形式.完全归纳推理可以论证创新成果，不完全归纳推理可以产生新猜想，实现新创造.归纳与演绎辩证思维方法是培养创新性思维能力的基本方法，数学教学研究应积极探索如何建立一种旨在培养学生创新性思维能力的模式.几何教学中经常存在着需要归纳与演绎的过程得出结论的例子.

例5如图11所示，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，∠A=75°，求∠D.若∠A=60°，120°，135°，n时，∠D的大小呢？

分析∠D的大小与∠DCB+∠DBC的和有关，而∠A决定了∠DCB+∠DBC的大小.用数学式子表示出来，看看有什么联系.

解在△ABC中，∠ACB+∠ABC+∠A=180°，

∠ACB+∠ABC=180°-∠A=180°-75°=105°.

在△BCD中，∠DCB+∠DBC+∠D=180°，

∠D=180°-（∠DCB+∠DBC）=180°-12（∠ACB+∠ABC）=180°-12（180°-∠A）=90°+12∠A=127.5°.

分别求出当∠A=60°，75°，120°，135°，n时，∠D的度数.解题过程中发现∠D=180°-（∠DCB+∠DBC）=180°-12（∠ACB+∠ABC）=180°-12（180°-∠A）=90°+12∠A.

故当∠A=n时，∠D=90°+n2.从这个问题的结论来看，∠D的大小与两个因素有关：∠A和被几等分，因此，可从另一个方面改变题目的条件.

[例5变式]如图12所示，BE和BF三等分∠ABC，CE和CF三等分∠ACB，∠A=75°，求∠E和∠F.若被四等分呢？

分析∠E和∠F的大小与三角形的其他两个角之和有关，根据三角形内角和定理就可以解答了.

解

∠E=180°-13（∠ABC+∠ACB）

=180°-13（180°-∠A）

=23×180°+13∠A.

∠F=180°-23（∠ABC+∠ACB）

=180°-23（180°-∠A）

=13×180°+23∠A.

觀察答案的规律，是否可以猜想：当∠ABC和∠ACB被n等

分时，形成的n-1个角，由下至上第i个角∠Ei=n-in×180°+in·∠A.猜想正确吗？怎么验证呢？有同学说可以设n=8，i=5的特例来验证.

总之，数学问题变化无穷、生动活泼，新颖且有创新，条件复杂，结论不定，解法灵活.数学问题无现成模式可套用，教师应消除学生模仿、死记解题的习惯，让学生运用多种思维方法，通过多角度的观察、想象、分析、综合、类比、归纳、概括等创造思维寻求多样性的解题方法.以上仅仅是个人的一点教学心得，有不完善的地方还需要在今后的教学中不断探索、实践、总结，但我们的教学目标是坚定的，为培养创造型人才而努力.

【参考文献】

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