李昊轩 贺钰淇 张昊阳 解菲

摘 要：現代金融理论的核心问题是金融衍生品的定价问题，期权作为一种重要的衍生品，在投资市场中有着显著作用，例如对冲风险、预测投机等。二叉树模型对于期权定价理论具有指导性意义。本文首先介绍基于常数利率假设的二叉树期权定价模型，其次推广到三叉树定价模型，并利用随机微分方程和原点矩的思想，推导出三叉树模型参数及期权价格的递推表达，通过数值模拟验证二者具有相同收敛性，但三叉树定价模型更稳定、收敛速度更快。最后考虑随机利率模型，引入基于Vasicek随机利率的美式期权三叉树定价模型，更贴合目前金融衍生品市场的实际定价策略。

关键词：期权定价  Vasicek随机利率  二叉树模型  三叉树模型  Black-Scholes模型

中图分类号：F832 文献标识码：A 文章编号：2096-0298（2020）08（b）--04

对于期权，Black-Scholes在1973年提出了B-S模型[1]用于欧式期权的定价，在假设股票价格行为服从维纳过程、市场无摩擦等条件下开创性地得到了欧式期权定价的显示表达式。然而，近年来大量的金融统计数据表明B-S模型与实际情形存在系统性误差，其主要原因是：（1）所涉及的参数大多认为是已知常数，导致在参数估计的时候往往会产生模型误差;（2）假设利率在购入期权到执行时间内始终保持常数水平，忽略了实际情况下利率随时间变化的波动性。20世纪70年代后期，Merton[2]在股票价格服从几何布朗运动基础上，加入泊松过程。针对于期权定价的数值计算，1979年Cox、Ross、Rubinstein提出了二叉树定价模型[3]，其基本思想是将时间离散化，采用“倒推法”，利用风险中性假设对期权进行定价。1986年Phelim Boyle提出三叉树模型[4]，与二叉树的构建和求解过程相似，但是从模型应用效果上具有更大优势。

本文在二叉树的基础上引入三叉树模型，利用随机微分方程推导出风险中性概率及上升、下降倍数的表达式，采用Wilcoxon符号秩检验法得到三叉树的收敛性高于二叉树，之后基于Vasicek随机利率模型构建三叉树，通过“倒推法”给出欧式及美式期权定价的数值方法。

4 结语

本文基于常数利率，推导出风险中性下的二叉树定价模型，紧接着在三叉树模型中，将期权时效T进行n等分后利用随机微分方程和原点矩的思想推导出一种三叉树模型，并数值模拟得出二者具有相同收敛性，再使用Wilcoxon符号秩验证说明三叉树的收敛速度优于二叉树。随机利率模型中最著名的是Vasicek模型和CIR模型，本文的创新之处在于将风险中性下的Vasicek随机利率模型带入美式期权三叉树定价模型中，并同样采用数值离散化的方式，利用三叉树模型给出随机利率下美式期权的数值解，且这种想法更贴合目前金融衍生品市场的实际定价策略。但Vasicek模型的不足之处是可能以正的概率出现负值。

参考文献

Black F， Scholes M. The Pricing of Options and Corporate Liabilities[J].Journal of Political Economy，1973， 81（3） .

Merton Robert C. Optimum consumption and portfolio rules in a continuous-time model[J]. Merton Robert C，1971，3（4）.

Cox John C.，Ross Stephen A.，Rubinstein Mark. Option pricing： A simplified approach[J]. Cox John C.;Ross Stephen A.;Rubinstein Mark，1979，7（3）.

Boyle，Phelim P.Options： A Monte Carlo Approach[J].Journal of Financial Economics， Vol.4， No.3 （May，1977）.

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刘玉玉，高凌云.四叉树期权定价的一个反例[J].佳木斯大学学报（自然科学版），2011，29（01）.

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