[摘 要]在地下水动力学教学过程中，发现不少学生存在数学基础不够扎实的问题，在学习这门课程时，很难与学过的数学知识联系。据此，通过将教材中用到的数学知识进行系统的梳理，主要包括基本方法、基本理论、数学模型及其求解三部分，期望对学生或从事该课程教学的教师有所帮助。

[关键词]地下水;水文地质;动力学;数学;基本原理

[基金项目]河北地质大学2018年度校级教学发展与改革实践项目“地下水动力学课程教学资源库建设”（2018JF06）

[作者简介]王超月（1988—），男，博士，河北地质大学水资源与环境学院讲师，主要从事水文地质学理论与教学研究。

[中图分类号] G640[文献标识码] A[文章编号] 1674-9324（2020）45-0-04[收稿日期] 2020-06-12

地下水动力学是地下水科学与工程、水文与水资源工程、地质工程等专业本科生的一门基础理论课。其先修课程有高等数学、普通地质学、水文地质学基础、水力学等。它是地下水科学或水文地质学工作者必要的知识储备，也是地下水数值模拟的理论基础。课程主要讲述了地下水运动的基本原理以及计算方法。该课程的特点是用到的数学知识多，理论性强，并且具有鲜明的实际应用背景。

笔者仔细翻阅了《地下水动力学》[1，2]以及《高等数学》[3]等教材，并结合多年授课经验，梳理了课程中主要的数学知识点。其中也涉及笔者对一些基本概念的理解，有不当之处，恳请读者给予指正。

一、基本方法

与高等数学纯数学相比，作為专业课，多了实际背景。差别首先体现在变量符号的使用上。数学里通常用y表示因变量，x表示自变量。而在地下水动力学课程中，各物理量均有实际的物理意义，x，y，z用来表示空间自变量，t表示时间自变量，H，p，v分别表示地下水水头、压力、渗流速度（来源于相应英文单词首字母），它们是时空变量的函数，如H（x，y，z，t）。各物理量所用符号一般与国内或国际惯例一致。这也方便了后期深入研究以及学习外文著作。

（一）极限与导数

1.极限。为了宏观上研究地下水，提出渗流理论，引入了典型单元体（或典型体元，REV）的概念，假想水流充满整个空间，不考虑岩土颗粒的存在，使得孔隙度（n）、水头（H）、水压（p）以及渗流速度（v）等在任意点P（x，y，z）处都有恒定的值，并且空间上具有连续性。典型单元体是使取样平均性质稳定的最小体积，在宏观上其值很小，可以想象其包含有限颗粒（如1000个）。如任意P点孔隙度定义为

含义即为在含水层中以P点为中心，取样体积逐渐减小至典型单元体时，计算的孔隙体积与土样体积的比值。

2.求导运算。课程中涉及的求导公式一般为简单的四则运算，如地下水的状态方程中：

二、基本理论

（一）特殊函数

教材上涉及的特殊函数主要有两类，一类是在数学上普遍应用的，在数学手册上可以查到具体表达式，如Bessel函数、虚宗量Bessel函数、（余）误差函数、伽马函数、双曲函数等。另外一类是在水文地质方面特有的函数，如井函数W（u）、不考虑弱透水层弹性释水时越流系统的井函数W（u，r/B）、考虑弱透水层弹性释水时越流系统的井函数H（u，β）、无压含水层中完整井的井函数W（ua，y，r/D）等。它们均具有特定的表达式，可以做成数据表，利用配线法反求水文地质参数时，被用作标准曲线。

（二）极值与最小二乘法

在寻求实际抽水流量与降深关系时，可以尝试经验公式。求解思路是找流量—降深的“线性关系”。将观测数据画到坐标图上，首先观察Q-sw是否呈线性关系，若不是，观察～Q，lgQ～lgsw，Q～lgsw是否呈线性关系，即分别对应流量与水位降深关系为直线、抛物线、幂函数曲线以及对数曲线几种常用形式。确定曲线类型后，可以利用最小二乘法求得未知参数。最小二乘法属于函数微分的应用，残差平方和（目标函数）最小时的待定系数即为最优参数。求最小值时令目标函数的导数或偏导数为零，通过求解方程或方程组最终得到最佳拟合参数。实际应用时可以通过EXCEL添加趋势线的方式获得最佳参数。

（三）梯度与水力坡度

由于地下水流场的连续性，水头H（x，y，z）在任意点P（x，y，z）具有连续的偏导数，梯度即为

一致。y是关于x的函数，是关于的函数，a、b是常数，所以曲线的形状与y-x曲线的形状完全相同，只是沿水平方向上平移了a，沿垂向上平移了b。需要注意的是，Theis公式的配线法是在双对数坐标下的。因此，需将观测数据绘制于与W（u）-1/u标准曲线相同模数的双对数坐标纸上，两曲线重合后，取任意匹配点，读取相应两组坐标值，带回公式，即可求导水系数T与贮水系数S。

（五）张量

向量可以表示有方向和幅度的物理量，比如力、加速度。各向同性介质的渗透系数是一个标量，而各向异性介质的渗透系数较复杂一些，任意点的渗透系数与方向有关，用向量不能够表示。这时需要用张量表示渗透系数，在三维空间里，渗透系数是2阶张量，含32个数字，是3×3的矩阵。

张量是向量的拓展，向量是1阶张量，同一物理量不同的张量形式，可以看作是不同坐标系下的线性变换。幸运的是，在一般介质中，总存在相互垂直的三个主方向上的渗透系数，可以用K1，K2，K3表示，当介质的渗透系数主方向与我们所选坐标系三轴分别平行时，此时渗透系数张量变为对角矩阵，渗透流速计算大大简化，，，。而介质渗透系数主方向与坐标系三轴方向不一致时，可不可以把坐标系改一下呢？我们在研究某个问题时，坐标系往往已经确定了，即水平方向上是x轴、y轴，垂向上是z轴，这也是我们计算水头以及水力坡度的依据，坐标系的位置不能仅考虑介质的需求。此时，K1，K2，K3依然是介质三个主方向上的渗透系数，只不过与坐标轴不重合，为了计算渗流速度，需要采用渗透系数张量的一般形式。

三、数学模型及其求解

（一）模型假设

数学模型的建立均基于各种假设，这些假设也是其应用的前提。模型假设是普遍存在的，假设的提出往往极大地简化了实际问题，最终服务于问题的解决。

如Dupuit假设的提出使潜水面边界问题的处理简单化。假设潜水面比较平缓，等水头面铅直，水流基本上水平，可忽略速度的垂直分量，同一铅直剖面各点的水力坡度和渗透速度相等，使三维问题（x，y，z）降阶为水平二维（x，y）问题处理;使剖面二维流问题（x，z）降阶为水平一维问题近似处理;Dupuit假设使潜水面边界直接近似地在微分方程中处理。该假设忽略了渗流速度的垂直分量，然而，在垂向分速度较大的地段，则不能采用。

又如在推导承压水运动的基本微分方程时，假设：（1）水流服从Darcy定律;（2）K不随ρ=ρ（p）的变化而变化;（3）Ss和K也不受n变化的影响;（4）含水层侧向无压缩，只有垂直方向的压缩，于是得到各向同性介质中承压水非稳定运动的基本微分方程：

除以上假设外，还假设：（5）水基本上是垂直地通过弱透水层，在主含水层中基本上是水平流动的;（6）忽略弱透水层本身释放的水量。另外，该方程实际反映的是承压含水层的平面二维运动。

（二）偏微分方程与定解条件

1.偏微分方程。高等数学中只有偏导数以及常微分方程的知识，对没有学习过数学物理方程等相关课程的学生，初次遇见偏微分方程可能引起学生的恐慌。因此，课程教学中需要向学生说明偏微分方程的特点。如承压水非稳定运动的偏微分方程（26）是二阶偏微分方程，H是关于时空变量x，y，z，t的函数。渗透系数K当在括号内的时候，表示可以是随空间变化的，即K（x，y，x）表示非均质介质。

2.定解条件仅给出偏微分方程，只能描述水流的一般规律，还不能确定具体的运动状态，该方程也称为泛定方程。如果附加一些条件后，就能完全确定具体运动状态，称这样的条件为定解条件。表示开始情况的附加条件称为初始条件，表示在边界上受到约束的条件称为边界条件[4]。偏微分方程与定解条件一起构成数学问题或者数学模型，能夠得到确切的解。在高等数学中，类似有常微分方程的定解问题

只不过这里变成了偏微分方程，增加了变量。偏微分方程与定解条件构成“方程组”，在满足解的存在且唯一的条件下，最终求解出H（x，y，z，t）。

3.柱坐标变换。在均质各向同性含水层中抽水时，形成的地下水降落漏斗中心对称，通过采用柱坐标变换，可将空间三维流问题降阶为二维流问题，大大降低了模型的求解难度。

（三）微分方程的求解

课程中二阶常微分方程的定解问题求解相对简单，如河渠间地下水的稳定运动，地下水向完整井的稳定运动等。二阶偏微分方程的定解问题略微复杂，不同院校对本科生的要求可能不同。总体上讲，教材中有推导过程的数学模型，如河渠间地下水的非稳定运动数学模型的线性化、承压含水层完整井流Theis公式的推导等，容易理解些，让学生学习一些数学模型的推导方法也十分有益。其他一些比较复杂模型，如：定降深井流计算;有越流补给的完整井流;有弱透水层弹性释水补给和越流补给的完整井流;潜水完整井等的解析解推导过程一般涉及比较复杂的积分变换及逆变换，对于没有学过复变函数与积分变换、数学物理方程等相关课程的同学往往有很大困难，可根据个人兴趣，查找相关文献学习。

（四）叠加原理

对于由线性偏微分方程和线性定解条件组成的定解问题，可以运用叠加原理。叠加原理在教材中多次用到，如河渠水位变化时，河渠间地下水的非稳定运动;地下水向干扰井群的稳定运动;均匀流中的井;阶梯降深抽水试验;流量变化时的Theis计算公式;水位恢复试验;地下水向边界附近井的运动;不完整井的运动等。

对于未知函数和它的各阶偏导数都是线性的方程称为线性偏微分方程。如

为线性偏微分方程。当右端f（x，y）=0时，方程叫作齐次的。

在高等数学中有类似定理：如果函数y1（x）与y2（x）是方程的两个解，那么y=C1y1（x）+C2y2（x）也是方程的解，C1、C2是任意常数。该定理推广到偏微分方程同样适用。关于叠加原理的更多介绍可参考Jacob Bear的专著[5，6]。

四、结语

虽然在教材中涉及的数学知识比较多，但基本都是数学中比较基础的内容。教学过程中，应针对学生可能的薄弱环节重点讲解。教学中还应尽量借助软件技术、数值方法、编程技术等，使理论的知识“活”起来，比如增加动态或者立体展示，增加学习过程中的可操作性。另外，课程中的一些经典推导可以培养学生的数学思维。需要指出的是，虽然随着科技的进步，数值模拟技术日益成熟、精进，但数值模拟技术的熟练运用依然有赖于扎实的理论知识。更重要的是，数学作为学习和研究现代科学技术必不可少的基本工具，借此课程强化学生的数学思维、提高数学素养具有重要意义。

参考文献

[1]薛禹群，吴吉春.地下水动力学[M].北京：地质出版社，2010.

[2]陈崇希，林敏.地下水动力学[M].北京：地质出版社，2011.

[3]同济大学应用数学系.高等数学[M].北京：高等教育出版社， 2002.

[4]《数学手册》编写组.数学手册[M].北京：高等教育出版社， 1979.

[5]Bear，J.Hydraulics of Groundwater.McGraw-Hill Publishing，New York，1979.

[6]Bear，J.Dynamics of Fluids in Porous Media.Dynamics of Fluids in Porous media.American Elsevier Pub.Co.，1972.

The Application of Basic Mathematics in the Course of Groundwater Dynamics

WANG Chao-yue

（School of Water Resources and Environment， Hebei GEO University， Shijiazhuang， Hebei 050031， China）

Abstract： In the course of Groundwater Dynamics teaching， it is found that many students have the problem that the mathematical foundation is not solid enough. During the study of this course， it is difficult for students to connect with the mathematics knowledge they have learned. For this reason， the mathematics knowledge used in the textbooks are summarized systematically. It mainly includes basic methods， basic theories， mathematical models and their solutions. It is expected to be helpful to the students or teachers engaged in the course.

Key words： groundwater; hydrogeology; Dynamics; mathematics; basic principles