许 娟，张 辉

（安庆师范大学数理学院，安徽安庆246133）

在ℝ3中磁场微极流方程组描述如下：

在无穷远处假设

其中，u(x,t)∈ℝ3，表示未知的速度场；b(t,x)∈ℝ3，表示未知的磁场；w(t,x)∈ℝ3，表示微旋转速度场；p(t,x)∈ℝ，表示未知的压力；(u0,w0,b0)是给定的初始值，且在分布意义下满足∇⋅u0=∇⋅b0=0。

磁场微极流方程组是非常重要的流体力学方程组，它不仅反映了重要的物理现象，而且结构上还耦合了许多重要的流体力学方程组，如（Magneto-hydrodynamics）（MHD）方程组、微极流方程组、Navier-Stokes方程组等。类似于Navier-Stokes方程组的解的情形，在文献[1-2]中已经论证了方程组在三维情形下强解的局部存在性与Leary-Hopf型弱解的整体存在性。一个自然的想法就是能否将Navier-Stokes方程组的一些正则性准则或爆破准则推广到磁场微极流方程组。最近有一些文献[4-8]研究了磁场微极流方程组弱解的正则性准则和强解的爆破性准则，但是，需要指出的是，在讨论部分分量正则性准则时，会出现许多本质上的困难，这是由于速度场和磁场以及微旋度场的非线性耦合。

1 磁场微极流方程组的正则性准则

本文的目的是讨论带有部分速度分量和磁场分量的正则性准则。研究的动机来源于不可压Navier-Stokes 方程组和MHD 方程组的相关研究，文献[9-10]对Navier-Stokes 方程组给出了只涉及速度场水平分量的正则性准则：

文献[11]对MHD方程组给出了涉及速度场和磁场的部分分量的正则性准则：

一个自然的想法就是探讨式（5）（6）能否推广到磁场微极流方程组。通过能量估计的方法获得了如下结论。

定理1假设初值(u0,w0,b0)∈H1(ℝ3)，且在分布意义下有div u0=div b0=0，三元函数(u,w, b)是磁场微极流方程组(1)(2)的弱解，如果满足

则(u,w, b)在存在区间[0,T)上是唯一的强解。

注1磁场微极流方程组在一定条件下可以退化成Navier-Stokes方程组和MHD方程组，因此定理1的结论是Navier-Stokes方程组和MHD方程组相关结果的推广。

注2 正则性准则与微旋度场无关，对应的微极流方程组

在无穷远处假设

那么定理1又蕴含着如下的正则性准则。

定理2假设初值(u0,w0)∈H1(ℝ3)，二元函数(u,w)是方程组（9）（10）的弱解，且满足：

则(u,w)实际是存在区间[0,T)上的唯一强解。

注3为了简便，本文中函数的Lp范数用‖ · ‖p表示，Hs范数用‖ · ‖Hs表示，常数用C表示，它可能涉及某些已经假定的量，如初值。

2 光滑解的先验估计证明

为了证明定理，先对光滑解给出如下的先验估计。

引理令(u,w, b)是方程组（1）（2）在[0,T)上的光滑解，若满足条件（7）或（8），则有

证明将方程组（1）中u-方程、w-方程、b-方程分别与-Δu、w、-Δb做L2内积，则有

下面对式（12）进行逐项估计，对于I1项，由[9-10]并结合Ho¨lder不等式和Young不等式有

其中，指标满足如下条件：

其中，指标满足下面条件：

接着估计I2。将I2分解成2个部分：

结合Ho¨lder不等式和Young不等式将I21、I22两项分别估计如下：

I2还可以这样估计，先将I2分解成4个部分：

然后对这4项分别估计如下：

由于I3，I4在形式上与I2类似，所以省略两种具体的分解方法，有

最后，我们估计I5，I6。利用Ho¨lder不等式和Young不等式有

同时利用Gagliardo-Nirenberg不等式

且通过适当选取参数λi，i=1,2,3,…,9，并综合上面的各式便可得到：

或者

利用Gronwall不等式，立即可以得到引理的证明。

3 正则性准则的证明

由于磁场微极流方程组的弱解如果满足H.da Veiga型准则，则弱解是[0,T]上的强解。具体地说，原保全[4]给出了如下的正则性准则：

上述结果表明，方程组解的奇性可以由速度场单独控制，因此只要能够说明在条件（7）或（8）下，速度场满足式（13），则完成定理的证明。通过一个标准的光滑过程，并结合引理的结论，可以得出当方程组（1）（2）的弱解满足条件（7）或（8）时，速度场∇u ∈L∞(0,T;L2(ℝ3))，至此完成定理的证明。

4 结 论

本文研究了磁场微极流方程组的正则性准则问题，利用能量估计的方法证明了速度场和磁场的水平方向满足条件

时，弱解在(0,T]上便是唯一的强解。结果表明，可以仅通过部分的速度场和磁场的分量来控制方程的奇性发展，这个结果展示了微旋度场似乎是一个“好”的物理量。