红霞 高峰 聂淑媛 杨继真

【摘要】平面束是解析几何中的重要内容之一，而且其应用比较广泛.本文根据我们多年的教学经验以及教改探索，首先介绍平面束的基本概念，其次深入探讨平面束方法在空间解析几何中的巧妙应用，希望能够为教师教学研究工作与学生掌握该方法提供一定的参考价值.

【关键词】有轴平面束;平行平面束;应用

【基金项目】国家自然科学基金（No.11701257），河南省教育厅高校重点项目（No.18A110025），数学学科中高等师范教育与基础教育融合发展和协同创新研究（2017-JSJYYB-074）、（2018XJGGJS-10）

高校本科院校数学专业中解析几何是非常重要的一门专业基础课，它延续了中学平面几何以及立体几何.它不仅紧密联系数学分析、高等代数等专业课程，同时也是微分几何、高等几何以及拓扑学等课程的基础.平面是空间中最特殊的曲面，而平面束是空间几何研究中最基础、最重要的内容，它的方程的建立更是教学中的重点与难点.本文主要通過实践以及探索，进一步分析了当前高校解析几何课程中极其重要的内容之一——平面束方法，同时突出了平面束方法在实际问题中的广泛应用.

一、基本概念

定义[1] 空间中，通过同一条直线的所有平面的集合称为有轴平面束，那一条直线叫做平面束的轴.空间中平行于同一个平面的所有平面的集合称为平行平面束.

这里l，m是不全为零的任意实数.

在求解一定约束条件下的平面方程问题时，通常思路就是利用课本上的常用方法点位式方程、三点式方程、截距式方程、一般式方程、法式方程等.也就是寻找待求平面的法向量或平面的方向向量或平面上的一个点，用以上方法来求解.有时我们采取这些方法求解方程的问题时，可能会使问题变得更复杂，此时如果采取平面束方法来解决问题将会变得更简洁明了.

二、平面束的应用

（1）求通过两个平面的交线的平面方程

分析：所求平面方程过某一给定的直线时，一般情况下使用平面束方法.平面束方法的解题步骤是先写出平面束方程，再根据另外已知条件求出平面束的参数比值或者参数值，从而达到求平面方程的目的.特别地，如果给定的直线方程不是一般式时，首先将方程转换为一般式形式再求平面方程.

（2）求过给定直线且在给定平面上的射影平面

分析：空间解析几何中最基本最常见的问题之一是求过给定直线且在给定平面上的投影平面问题.事实上，这类问题有很多解法.其中最巧妙的解法是利用平面束方法，也就是只要我们求出经过已知直线且与已知平面垂直的平面即可.

（3）求给定点到已知直线的距离.

分析：求一个点到一条直线距离的公式以及相关推导问题在一般的解析几何教材中都会给出，但给出的求解公式相对比较长，记忆很难，计算也比较大，学生不易掌握.其实不妨用平面束方法来解决这类问题.设平面π经过给定直线和给定点，平面π′经过给定直线且垂直于平面π，用平面束方法来确定这两个平面.事实上，所求给定点到给定直线的距离d等于给定点到平面π′的距离.通过这样的操作，把求点到直线的距离巧妙地转化为求点到平面的距离问题，而通常学生最容易把握点到平面的距离公式，计算过程也相对少.

从以上几个典型例题可以看出，有轴平面束和平行平面束方法确实能使许多复杂的问题简单化，能起到简单明了的效果.

结 语

平面是最特殊的曲面，而平面束是满足特有性质的一些平面集合，从而它们拥有很多良好的性质.比如判定给定直线与平面的位置关系问题、计算点到一条直线的距离问题、求给定直线在平面上的射影问题等都可以利用平面束的方法得到解决.

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