马树军，方 锐

(东北大学 机械工程与自动化学院，辽宁 沈阳 110819)

数字全息显微技术是一种无标签、非接触、无创的成像技术.数字全息显微技术把传统的全息再现技术和数字图像处理技术结合起来构建观察和测量被测物体的三维形貌，并对物体的三维结构进行量化分析，在生物细胞检测[1]、MEMS器件形貌测量[2]和应力应变分析[3]等领域有着广泛的应用.然而，在数字全息显微光路中，由于物镜和离轴角的存在，重建的相位图总是包含一次和二次相位像差.这两种相位像差存在于数字全息显微光路中，严重影响了被测物体三维形貌的测量，因此必须采取相位像差补偿算法对其进行像差补偿.

数字全息显微技术中相位像差的补偿方法主要分为两大类:数值补偿法和物理补偿法.然而，物理补偿方法不仅使得数字全息系统设置更加复杂和昂贵，而且在实验操作中需要精确地调整.因此，数值相位像差补偿算法逐渐成为研究的热点，如泽尼克多项式[4-6]、主成分分析法[7]和基于双拟合和背景分割的方法[8]等.然而，上述方法都是基于最小二乘拟合原理，当对包含被测物体的解包裹相位图直接进行最小二乘拟合时，补偿后被测物体的相位值与实际相位值有很大的误差.基于深度学习的方法可以实现背景区域和样品区域的分割，完成对相位像差的补偿，但该方法不仅训练过程耗时，而且需要大量的训练数据集来进行模型训练[9-10].

本文提出了一种基于背景分割的相位像差自动补偿方法，结合水平集图像分割技术，对系统的相位像差进行有效的补偿，整个过程只需要一张简单的全息图.通过搭建的离轴数字全息显微实验平台，对被测物体进行实验，验证了本文所提算法的可行性和准确性.

1 相位像差补偿原理

数字全息显微技术对被测物体的测量需要全息图的记录和再现像的重建两个步骤.在记录步骤中，用CCD或CMOS相机获取由物光波和参考波干涉形成的全息图.全息图的强度分布为

H=|O+R|2=|O|2+|R|2+OR*+O*R.

(1)

其中:O和R分别表示为物光波和参考光波;OR*和O*R为干涉项；O*和R*分别表示为物光波和参考光波的共轭项.

在重建步骤中，利用角谱法对全息图进行数值重建，得到包裹的相位图像.相位展开后，重建的相位图像可以表示为

φrec(x,y)=φobject(x,y)+φerror(x,y).

(2)

其中:φobject(x,y)为被测物体相位；φerror(x,y)为系统相位像差.

本文所提基于背景分割的相位像差自动补偿算法流程图如图1所示.首先通过角谱法对采集的全息图进行相位重建，得到其解包裹相位图φrec(x,y)，接着利用最小二乘拟合算法直接对包含被测物体的解包裹相位图进行粗略补偿，然后利用水平集图像分割技术对粗略补偿后的相位图进行背景分割和二值化处理，只留下背景区域，得到对应的相位掩模板.利用得到的相位掩模板对包含被测物体的解包裹相位图φrec(x,y)进行处理，得到不含被测物体的解包裹相位图，最后利用最小二乘拟合算法对其进行相位像差补偿，即可得到拟合的系统相位像差φfit(x,y).其拟合过程:

φfit(x,y)=a1+a2x+a3y+a4xy+a5x2+a6y2.

(3)

其中，ai(i=1,2,…,6)为该拟合表达式的各项系数.

(4)

其中，m是背景区域内点的总数.通过解该线性方程即可求出拟合表达式的各项系数.

最后用包含被测物体的解包裹相位φrec(x,y)减去拟合的系统总像差φfit(x,y)，即可获得被测物体的真实相位值.

φobject(x,y)=φrec(x,y)-φfit(x,y).

(5)

从上述提出的相位像差自动补偿原理可以得出，基于图像分割的相位像差自动补偿算法消除了被测样品对拟合的系统相位像差φfit(x,y)的影响，因此可以实现对被测物体的相位值进行精确补偿.

2 基于水平集的图像分割原理

水平集图像分割方法于1988年被Osher等提出[11-13]，该方法已经被广泛使用在解决各种图像分割处理以及计算机模式识别方面.水平集的演化方程为

(6)

其中:F为给定的速度函数;I为经过粗略补偿后的相位图I的梯度.假设离散空间的间隔为h，则在n时刻，离散空间某一点(i,j)处的水平集函数速度函数为图像I的梯度为其中Δt为时间步长.则离散化的水平集函数为

(7)

采用有限差分法对公式(7)进行求解，可得

(8)

通过对公式(8)不断地迭代来更新水平集函数，即可实现基于水平集的图像分割，完成样品区域和背景区域的自动分割.

3 实验结果及讨论

本次实验的离轴数字全息显微实验装置如图2所示，该实验装置基于迈克尔逊干涉仪原理进行搭建.

波长为632.8 nm的激光束通过分光棱镜分成两束光，一束作为参考波经反光镜反射回来，另一束作为物光波照射到被测物体上记录被测物体的波前信息反射回来，两束光在CCD平面上干涉形成全息图，由CCD相机记录(像素:1 280×960，像素大小为3.75 μm).通过搭建的该数字全息实验装置，对美军分辨率板(该样品的台阶高度约为80 nm)进行了测量.

首先，通过图2所示的实验装置原理图来搭建所需的实验平台，对被测物体进行测量，采集被测物体的全息图，并将该物体的全息图保存到计算机中，如图3所示.

接着，利用角谱法对该全息图进行相位重建，并对其进行相位解包裹，得到包含被测物体的解包裹相位图，如图4a所示.然后通过最小二乘算法直接对包含被测物体的解包裹相位图进行拟合，拟合的系统相位像差如图4b所示，最后得到经过粗略补偿后的被测物体的相位值，补偿结果如图4c所示.

通过水平集图像分割和二值化处理对粗略补偿后的相位图的样品区域和背景区域进行分割，获得对应的相位掩模板，水平集图像分割效果如图5a所示(白色分割曲线将被测物体包围)，相位掩模板如图5b所示.

通过相位掩模板得到不包含被测物体的解包裹相位图，如图6a所示.最后，利用最小二乘算法对其进行拟合，拟合的系统相位像差如图6b所示，最终得到相位像差补偿后的相位图，补偿效果如图6c所示.

为了更清楚地展示所提算法的可行性和相位像差补偿精度，实验中分别对直接对包含被测物体的解包裹相位图进行补偿的效果图和本文所提算法相位像差补偿的效果图中的第220行的高度值作图，结果如图7所示.

通过引入均方根误差(RMSE)来定量计算在220行经过两种算法补偿后的被测物体的高度部分与真实高度(约为80 nm)的偏差程度，计算结果如图8所示.

为了验证本文所提算法的相位像差补偿精度，在实验中对比了直接进行相位像差补偿的最小二乘拟合算法，该算法的补偿效果如图4c所示，本文所提算法的补偿效果如图6c所示.由图7和图8可以得出:由于重建的解包裹相位图包含被测物体，当直接对解包裹相位图进行最小二乘拟合时，最终得到的被测物体的相位值和真实结果会有很大的误差.然而，本文所提算法消除了被测物体相位值的影响，因此经过本文所提算法得到的相位像差补偿结果更接近于被测物体的实际高度值，补偿效果更好，精度更高.

4 结 语

通过角谱法重建的解包裹相位图，利用最小二乘拟合算法直接对其进行相位像差补偿时，由于包含被测物体，补偿后获得的被测物体的相位值与真实相位值存在很大的误差.因此，本文提出一种基于背景分割的数字全息显微相位像差自动补偿算法，该算法结合水平集图像分割技术，把经过粗略补偿后的样品区域和背景区域分割出来，去除被测物体相位值的影响，再对不含被测物体的解包裹相位图进行相位像差补偿.通过实验充分验证了该算法的准确性，获得了精确的补偿效果.