文_赵霞

尊重教育规律和学生身心发展规律，为每个学生提供适合的教育。课堂教学要为每个学生提供适合的教育，就必须更新观念，心甘情愿地“让学”，让教师的“教”为学生更好地“学”服务。近年来，我任教的江苏省建湖高级中学积极进行基于“让学引思”的教学实践研究，为使学生成为学习的主人而努力，力求让学生的“学”真正发生。

问题提出

变式1：求f(x+1)的表达式及定义域。

变式2：求f(3-x)的表达式及定义域。

教学步骤

师：请同学们完成上述问题，A、B、C 同学上台板演。（具体函数求表达式及定义域的问题，难度不大，学生能够迅速完成。需引导学生求出f(x+1)及f(3-x)的表达式，并且总结x+1 和3-x的范围。）

师：A、B、C 同学都做得很好。下面我们对上述问题做一个变化：

已知f(x)的定义域为[0,2]，求f(x+1)的定义域。

已知f(3-x)的定义域为[1,3]，求f(x+1)的定义域。

已知f(x+1)的定义域为[-1,1]，求f(x)的定义域。

有的学生直接看傻了眼，生疑：没有表达式，如何求定义域？

师：有谁能看出这两组题之间的内在联系呢？

生1：上面一组函数有具体表达式，而下面一组没有具体表达式。

师：有谁还能看出其他的联系？

生2：前后两个f(x)的定义域都是[0,2]。

师：这位同学观察得很仔细，我们的任务是解决抽象函数求定义域的问题，而这部分内容向来是难点，让人感到无从下手。所以我为大家设置了一个铺垫，试图从具体函数求定义域中探索出求抽象函数定义域的方法。这位同学已经发现，无论函数表达式是否具体，前后两者的定义域都是[0,2]。这样一来，相当于所谓的抽象函数就是隐藏了函数的表达式，所以我们要求抽象函数定义域，只需要把具体函数的表达式及定义域弄清楚就行了。求f(x+1)及f(3-x)的表达式时，需要在书写上做一个规范。

生：无论f作用下的括号里是什么内容，范围都在[0,2]，即：0 ≤x≤2,0 ≤x+1 ≤2,0 ≤3-x≤2。

师：是的，这样一来，我们也无所谓是不是有具体表达式了，只要保持哪一个原则？

生：f作用下的括号的范围一致。

师：很好，接下来，我们要把题目完善到底，谁能完成？

生3：因为f(x)的定义域是[0,2]，所以0 ≤x≤2，所以0 ≤x+1 ≤2，所以-1 ≤x≤1。

师：这位同学的求解过程是正确的。

生4：因为f(3-x) 的定义域是[1,3]，所以1 ≤3-x≤3，所以-3 ≤x-3 ≤1，所以0 ≤x≤2。

师：这位同学的求解过程正确吗？

有的学生疑惑，不敢回答，存在质疑。

师：(引导学生)什么叫定义域？

生：函数的自变量x的取值集合。

师：那这里的[1,3]是3-x的范围吗？

生：(学生们恍然大悟，释疑)他一开始就错了，1 ≤x≤3，所以0 ≤3-x≤2。

师：然后怎么分析？

生：0 ≤x+1 ≤2。

师：为什么？

生：都是f作用的，所以范围一致。

师：你们刚才的求解过程很好地反映了求抽象函数定义域的过程，总结如下。

第一，定义域指的是自变量x的取值范围。

第二，同一个对应法则如f作用下的整个括号的范围始终保持一致。

抓住这两点基本原则，你们求解抽象函数定义域就能得心应手了。

师：下面请生3 点评一下生4 的书写过程。

生3：生4 的书写过程是正确的。因为f(x+1)的定义域是[-1,1]，所以-1 ≤x≤1，0 ≤x+1 ≤2，故后面f 括号里x的范围就是[0,2]。

师：教师从研究具体函数入手，让你们观察得出只要是在f作用下的整个括号，无论里面是什么内容，简单还是复杂，它的范围始终保持不变。解抽象函数定义域要牢牢把握住这一点。下面给同学们提供一点相关题目做巩固练习。

练习1：已知函数f(x)的定义域为(-1,0)，求函数f(2x+1)的定义域。

练习2：已知函数y=f(x-2)的定义域是[0,4]，求函数的定义域。