湖北 周 威

数学是一门思维严谨的学科.然而，在高中数学解题教学或模拟考试中，由于缺乏思维严谨性导致一些错题或错解出现，对解题教学和学生学习造成了一定的负面影响.本文所说的错题是指有逻辑错误的题,错解也是指在解题过程中由于逻辑不严谨、不合情理导致的错误解答.正所谓“失败乃成功之母”，错题与错解也有其教育价值及教育功能.对错题与错解的归类例析，是提升学生逻辑推理核心素养的有效途径，也是深度学习的表现.黎加厚教授曾经指出，深度学习意味着理解和批判，意味着联系和构建，意味着迁移与应用.本文基于深度学习的特点归类例析笔者最近教学研究中遇到的一部分典型错题与错解，与读者交流.

1. 充分、必要、充要条件混淆导致错题与错解

【例1】已知f(x)为R上的偶函数，满足f(x+1)=-f(x),且当x∈[0,1]时，f(x)=3x-1，则函数g(x)=f(x)-log2|x|的零点个数是( )

A.2 B.4 C.6 D.8

似乎正确的解析：由题意知f(x+2)=-f(x+1)=f(x),所以f(x)的周期为2，又由于x∈[0,1]时，f(x)=3x-1，且f(x)为R上的偶函数，利用数形结合可画出y=f(x)与y=log2|x|的函数图象，观察可得其交点个数为6个，故选C.

点评：整个解题过程条件应用到位，运用了化归与转化、数形结合思想，似乎十分合理，但是，仔细斟酌就会发现，若取x=0,根据题设条件f(x+1)=-f(x)得f(1)=-f(0)，代入条件“当x∈[0,1]时，f(x)=3x-1”，于是会得到“0=2”的矛盾结果！因此，这是一道错题！因为解题过程中起作用的是“函数f(x)的周期为2”，但条件“f(x+1)=-f(x)”是“f(x+2)=f(x)”的充分不必要条件，也就是说这两个条件并不等价！

【例2】已知函数f(x)=lnx+ax的图象存在与直线2x-y=0平行的切线，则实数a的取值范围是________.

2. 恒成立与最值问题混淆导致错题

3.不等式放缩不严谨导致错题

A.(1,+∞) B. (e,+∞)

4.没有把握数学本质的答案巧合导致错解

【例6】某学校为鼓励家校互动,与某手机通讯商合作,为教师办理流量套餐,为了解该校教师手机流量使用情况,通过抽样,得到100位教师近2年每人手机月平均使用流量L(单位：M)的数据，其频率分布直方图如下.若将每位教师的手机月平均使用流量分布视为其手机月使用流量，并将频率视为概率，回答以下问题.

(1)从该校教师中随机抽取3人，求这3人中至多有1人月平均使用流量不超过300M的概率；

(2)现该通讯商推出三款流量套餐，详情如下：

套餐名称月套餐费(单位:元)月套餐流量(单位:M)A20300B30500C38700

这三款套餐都有如下附加条款：套餐费月初一次性收取，手机使用一旦超出套餐流量，系统就自动帮用户充值200M流量，资费20元；如果又超出充值流量，系统就再次自动帮用户充值200M流量，资费20元/次，依此类推，如果当月流量有剩余，系统将自动清零，无法转入次月使用.

学校欲订购其中一款流量套餐，为教师支付月套餐费，并承担系统自动充值的流量资费的75%，其余部分由教师个人承担，问学校订购哪一款套餐最经济实惠?说明理由.

错解：(2)由频率分布直方图可知每位教师手机月平均使用流量为x=150×0.08+250×0.22+350×0.25+450×0.35+550×0.08+650×0.02=369(M).

也就是说,该校每位教师手机月平均使用流量为369M,以下分三种情况：

①当学校订购A套餐时,该校为每位教师承担的月费用为20+20×75%=35元；

②当学校订购B套餐时，该校为每位教师承担的月费用为30元；

③当学校订购C套餐时,该校为每位教师承担的月费用为38元.

因为30<35<38,所以学校订购B套餐最经济实惠.

点评:此题正确答案是订购B套餐最经济实惠.之所以错解就是没有抓住问题的本质“数学期望”.事实上，上述“错解”其实已经没有在概率统计范畴中考虑问题了，因为学校为每位教师选择套餐类型，这是个随机事件，而上述错解的解答过程，却把选择每一类套餐的事件当成必然事件.所以正确解法应当计算出“每类套餐支付费用”的分布列，求出数学期望，根据数学期望值来选择方案.另外当修改相关数据且套餐只有两类时，按上述“错解”的思路也无法算出哪种方案最经济实惠.

5. 结语