山东 李化周

2019年的全国高考数学新课标卷Ⅰ引起了社会的广泛关注，许多考生感觉不适应.2020年高考数学又进行了改革，增加了4道多选题，题量与思维量增大，对学生的应考能力提出了更高的要求.新的课程标准提出要提升学生素养，注重发展学生应用实践能力与创新能力，而素养目标会逐渐落实于高考中.作为数学教师应精准把握高考的改革方向，在日常的教学中渗透数学思想，培育学生数学核心素养，提升学生数学解题能力.在教学中数学教师应改变以往偏重直接传授知识的方式，多创设学科情境，通过组织学科活动，引导学生主动去发现、去经历、去感悟.教师应更多地在学生无疑处生疑、无向处指向、无力时借力，让学生站在课堂的正中央.如何帮助学生更从容地走过高考呢？经过笔者所在学校高三数学组近一年的探索,发现在平时的数学教学中应注重学生四个方面能力的培养：数据分析能力、模型构建能力、数学运算能力、阅读理解能力.

一、强化学生数据分析能力

数据分析是大数据时代数学应用的主要方法，过程主要包括：收集数据、整理数据、提取信息、构建模型、进行推断、获得结论.学生的数据分析能力也是近几年高考考查的重点.教学中要侧重利用图象、表格、频率分布直方图、条形图、饼形图、折线图、茎叶图等培养学生识表读图能力，培养学生对收集的数据进行再处理、再分析的能力.

【例1】相关变量x,y的散点图如图所示，现对这两个变量进行线性相关分析.

A．0

C．-1

从图象上，我们发现(10,26)这个数据与其他数据差别较大，可能在数据收集过程中出现了误差，我们可以剔除掉(10,26)，再来研究规律.发现这些数据呈现负相关特性，剔除问题数据后，相关性增强，即r2更接近-1，故选C.

发展学生数据分析能力，在教学中一是可以借助信息技术，提升学生数学理解能力.教师借助信息技术多创设学生感兴趣的情境，激发学生探究兴趣；二是开展丰富的实践活动，引导学生经历数据收集、整理、分析和预测的过程.让学生利用R软件、Geogebra、excel表格、spass等工具分析数据，改变数据呈现方式，增强学生抽象理解能力同时也可以很好地锻炼学生的分析能力，丰富学生处理数据的方法.

二、积极培养学生模型构建能力

新课标强调数学融于生活，让学生从生活中提出数学问题，应用数学知识解决生活中的问题.新教材设计了多个数学建模的环节，使数学建模落实于课堂.在试卷中主要以应用题的形式考查，学生需要从问题中识别出数学模型，然后利用数学的方法解决问题.

在数学教学中可以在以下方面培养学生数学建模能力：一是引导学生关注生活，对生活中的现象进行分析，发现其中蕴含的数学问题，尝试用数学方法解答.知识来源于生活，生活中蕴含着丰富的数学模型，要引导学生养成从生活中寻找问题的习惯；二是让课堂开放，鼓励学生在课堂上提出问题，在思考、合作、交流中找到问题的答案；三是鼓励学生们通过观察将生活和教材上的知识进行连接，学会相互联系；四是教师要经常渗透模型构造的方法.常用的构造方法有将实际问题转化成方程问题、将实际问题转化成函数问题、将实际问题转化成图形问题、将实际问题转化成三角问题、向量问题、不等式问题等.

三、培养学生数学运算能力

运算能力是思维和技巧的结合，包括对数值的准确计算和估算, 对数学表达式的变形与转化等，运算过程中要认清运算条件、明确运算方向、选择运算公式、确定运算程序等；也包括在实施运算过程中遇到障碍而调整运算策略的能力，以及坚持到底的韧性.在运算教学中，教师应该多关注学生思维品质的培养，使学生终身受用.

A. 165cm B. 175cm C. 185cm D. 190cm

按以往的经验，在试卷这个位置的题目学生应该非常轻松地可以完成,但很多学生在这个题就卡住了.据学生考完后反映，一部分学生读不懂题意，有点懵；一部分学生没有注意到关键词“可能是”,这部分学生没有尝试估算而执著于直接求得准确的答案; 还有相当一部分学生根据生活中的经验凭直觉选出了正确答案B.

四、大力培养学生阅读理解能力

在新的高考形式下，学生文本理解能力、生活经验等对考生考场作答影响较大.在教学中，教师应多引导学生以数学的眼光观察世界，多了解生活中的数学，了解数学历史，体会数学精神，感悟数学思想.

【例5】(2019·全国卷Ⅰ理·21)为治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验．试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验．对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药．一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验．当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效．为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得-1分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分，甲药得-1分；若都治愈或都未治愈则两种药均得0分．甲、乙两种药的治愈率分别记为α和β，一轮试验中甲药的得分记为X．

(Ⅰ)求X的分布列；

(Ⅱ)若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分，pi(i=0,1,…,8)表示“甲药的累计得分为i时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则p0=0,p8=1，pi=api-1+bpi+cpi+1(i=1,2,…,7)，其中a=P(X=-1),b=P(X=0)，c=P(X=1).假设α=0.5,β=0.8.

(i)证明：{pi+1-pi}(i=0,1,2,…,7)为等比数列；

(ii)求p4，并根据p4的值解释这种试验方案的合理性．

这个题目如果改动一下，单独作为数列题进行考查：若数列{an}满足：an=0.4an-1+0.5an+0.1an+1,且a1=0,a9=1,求证：{an+1-an}为等比数列，并求a5.

由an=0.4an-1+0.5an+0.1an+1很容易得到0.1(an+1-an)=0.4(an-an-1)，进而可以证得{an+1-an}为等比数列，并借助a1=0,a9=1求得a5的值.而题目中a,b,c的值学生并不难求出.学生感觉考场乏力有以下几个因素：一是阅读能力不足，不能在有限时间内读懂题意；二是生活经验匮乏，不能准确理解各字母含义，不能准确全面地分析可能会发生的各种情况；三是数学建模能力薄弱，不能从题中发现、抽象出数学模型；四是对多符号、多字母式子不能静心分析每一个字母、符号代表的含义，失去了作答的信心.

【例6】窗的运用是中式园林设计的重要组成部分，常常运用象征、隐喻、借景等手法，将民族文化与哲理融入其中，营造出广阔的审美意境.如图，在平面直角坐标系xOy中，O为正八边形P1P2…P8的中心，P1P8⊥x轴，现用如下方法等可能地确定点M：PiPj(其中1≤i,j≤8，且i,j∈N*,i≠j)是正八边形的顶点，M为线段PiPj的中点，则点M(异于点O)落在坐标轴上的概率为( )

这是一道融合了中国传统文化的创新题，字母较多，看似毫无头绪，仔细观察就可发现若点M在坐标轴上，则Pi与Pj必关于坐标轴对称，即问题转化成轴对称问题.从8个点中任取两个点共有28种取法，而Pi与Pj关于x轴对称的有4对,Pi与Pj关于y轴对称的也有4对，共8对，根据古典概型概率公式可以求得D选项正确.