刘全礼 王得义

[摘 要]  数学学习是通过视、听器官，在母语的帮助下，形成大脑皮层相应的联系系统的过程。数学学习障碍是一种由大脑皮质的二级、三级区损伤导致的“高级障碍”。这种损伤导致皮层在神经活动中有信息传导受阻、信息传导减弱和皮层的整合联系建立困难3种表现。对数学学习障碍进行干预，首先要区别真假数学学习障碍，然后对真正的数学学习障碍要从物质干预、特异化训练和数学干预入手，注重数学知识与能力的训练，同时强调数学思维的训练。

[关键词]  数学学习障碍;脑机制;物质干预;特异化训练;数学干预

[中图分类号]  G 760  [文献标志码] A  [文章编号] 1005-0310（2020）04-0044-06

Abstract： Mathematics learning is the process of forming the corresponding connection system of the cerebral cortex through the sight and hearing organs with the help of the mother tongue. Mathematical learning disorder is a kind of “advanced disorder” caused by the injury of the second and third levels of the cerebral cortex. This damage leads to three kinds of manifestations： cortical information transmission is blocked during nerve activity， information transmission is weakened， and cortical integration is difficult to establish. First of all， it is necessary to distinguish between true and false mathematical learning disorder， and then the intervention of real mathematical learning disorder should start with material intervention， specific training and mathematical intervention， focusing on mathematical knowledge and mathematical practice intervention， and emphasizing the training of mathematical thinking.

Keywords： Mathematical learning disorder; Brain mechanism; Material intervention; Specific training; Mathematical intervention

1 問题的提出

我国在特殊教育意义上的学习障碍研究始于20世纪80年代。在研究初期的十几年中，教育、心理、医学界都有学者进行研究，但那时的研究存在着明显的不足。比如，研究的范式基本上是参考欧美国家且是验证他们的研究，研究的取样并不科学，研究的结果与实践的结合不紧密等[1]。2000年以后，尽管在取样、研究范式、研究的手段等方面有了很大的进步，但依然存在着一些亟须改进的问题，例如，对研究对象的确定依然问题较多，其中最大的问题就是过高地估计了学习障碍的发生率。有学者估计我国的3.6亿儿童中，有2 160万～3 960万数学学习障碍儿童，达到了6%～11%[2]，这个数字实在让人感觉可怕，其中必有非数学学习障碍学生。再如，2000年以来关于计算障碍和数学学习障碍的类型、脑流、认知特征、障碍的脑区定位等方面的研究，看上去较为丰富，但是，这些研究的思路各异，同一问题的研究结论各不相同甚至互相矛盾，很难得出合理的解释。

如何跳开这些迷雾一般的具体的研究结论，站在更高的角度看待数学学习障碍，并为进一步的理论和实践研究提供新思路，显得尤为重要。为此，笔者尝试利用神经心理学的原理和已有的研究基础，结合自己多年数学教学和特殊教育研究的经历，对数学学习障碍的研究提出一些自己的看法。

2 数学与数学学习障碍

2.1 数学是什么

数学是什么？就中小学的数学学科内容来看，它是研究数、量、空间形式及其相互关系的一门学科。从数学和客观世界（包括自然界和我们改造的环境）的关系来看，基础教育阶段的初等数学中的空间形式如线条、图形、几何体等，基本上能在客观世界找到相应的形象物。但是，数和量这两个重要的数学的要素，在客观世界里并没有相应的形象物，它们属于语言的二级（更高级抽象）概念的范畴，是进一步抽象的结果。

从数学和母语的关系看，空间形式因为在自然界或者人造的环境中有“可视物”，在母语的获得中，很自然地能够通过声音和形象的配对建立起一些关于数学的初级联系（尽管这种联系达不到数学语言中要求的那么完美）。或者说，在母语的获得中，因为空间形式的客观存在，关于空间形式的言语可以通过“有意无意”的声音和形象的配对获得一些。但是，在数和量（概念及其关系）的言语获得中，只能通过二级条件联系。比如，建立了狗的概念，才能建立1只、2只狗的概念，以及明白1和2的关系。

因此，所谓数学从内容构成来看，是关于数、量、空间形式及其关系的学科;从呈现方式看，则是一门由特定的言语构成的特定符号系统（下文将具体阐述这个系统的呈现方式）;从形成过程来看，则是视、听等多感官结合下的多级条件联系系统。

2.2 数学学习学什么

1） 从内容角度看，数学学习是掌握数、量、空间形式及其关系，即在感官能力和母语获得的基础上建立相应的条件联系系统。这里既有数、量及数量概念的建立和运算，又有空间图形的认知、命名和演变关系的推演，还有数量与图形的关系的运算与推演。

2） 从功能角度看，数学学习是学习使用数学知识解决现实问题，学习数学独特的言语体系和获得数学的思维模式。解决现实问题容易理解，但数学的言语体系和数学思维模式则不见得容易理解。

目前，数学的言语体系——数学语言，主要分为3种基本的言语形式：一是母语语言形式或者母语文字的语言形式，如“小红今年8岁，小明比小红大两岁，小明今年几岁”;二是（数学）符号语言形式，是纯粹的符号系统，如“∵A>B，B>C，∴A>C”;三是图形语言形式，就是纯粹由图形符号组成，如平面几何和立体几何的图形。除此之外还有混合形式，如表示两个三角形全等。

数学的思维模式是数学学习中最难掌握的。数学有应用，有具体的语言的掌握，但数学的一个重要内容是通过概念、知识和规则的学习，形成相应的思维模式，如演绎、归纳的推理模式，自上而下、自左至右的观察模式。比如数字N乘以10是多少（N不等于0，下同）？不仅是应用，还有逻辑模式的建立，是逻辑推理的过程，其结果为N0，这是演绎（当然，这个结果的获得可以通过归纳）。这里有概念、规则和应用，但最终是演绎的逻辑过程。

3） 从过程角度看，数学学习离不开3个基本的要素：一是母语，没有母语（包括书面语和口语，对聋人而言，则至少是手语）很难进行数学学科的学习，母语是数学学习的重要基础之一。二是视觉和听觉器官（对盲人而言，则需要触摸觉器官），无论是和空间图形有关的数学内容如图形，还是书面语状态的数学语言，都需要视觉器官的参与;图形和书面文字的内容也都可以变成语音形式，所以也需要听觉器官的参与，尤其是在课堂上。三是大脑，包括视听中枢及其以外的皮层的高级区域。正是这些高级区域的参与，才使得数学的推演完全可以离开具体的视听，而成为思维的体操。或者说，数学的学习无非是通过视听器官的参与，在母语的帮助下，形成大脑皮层的相应的联系系统。

2.3 数学学习障碍是什么

要给数学学习障碍一个定义是很难的，不能仅从数学成绩差的角度来定义。因为数学成绩差不一定是数学学习障碍，可能与学习态度有关系，也可能与学习方法有关系，还可能与智力有关系，更可能与文化基础有关系。那么只能从过程角度，即数学学习的过程角度来理解数学学习障碍。也就是说，只有那些智力没有问题、学习态度端正、学习方法正确但还学不好的学生才可能是数学学习障碍。

从前述关于数学的定性来看，数、量、空间形式以及描述这些数学语言的呈现，有时和感觉器官（主要是视听器官）有直接关系，因此，如果学生的感觉器官有問题就可能导致学习的问题，这就是笔者所称的器官型学习障碍[3-4]。比如，对于算式、图形的感知出现异常就有可能属于这种情况。但是，如果把这些算式、图形或者数学语言的呈现方式让学生充分感知到，他们的计算、推理等数学本身的特征不一定有异常。这就是说，某些因为感官异常而表现出的数学学习障碍不一定是真的数学学习障碍，而是一般学习障碍在数学上的表现。

从数学语言和母语的关系来看，如果未能掌握母语，那么就有可能无法把母语呈现的数学关系或者逻辑关系翻译成数学语言，这时的障碍可能是阅读障碍，而阅读障碍则可能是短时记忆问题导致的，这种障碍也就不一定是数学学习障碍。例如，在“小红今年8岁，小明比小红大两岁，小明今年几岁”这个陈述中，要想把母语呈现的数学问题解答出来，首先要理解题意。而要理解题意，首先要记住小红的年龄，然后找到小红和小明年龄的关系，即“小明比小红大，且大2岁”，这后面的解答才是数学问题。这就是说，这类应用题在表面上看好像是数学问题，但本质上可能是阅读问题、记忆问题，只有当理解了题目、找到了关系，还不能解答，才是数学学习障碍问题。

从学习需要专注来看，如果注意力难以集中，也就不能连续地感知或记忆相关学习要素，其表现似乎是数学学习障碍，但症结却在注意力上。这是笔者所称的一般学习障碍中的动力异常型学习障碍[4]，而非数学学习障碍。

因此，要把数学学习障碍与感官型学习障碍、阅读障碍和动力异常型学习障碍区分开来，否则就混淆了数学学习障碍的性质。目前国内的一些数学学习障碍的研究未能注意到这些区别，才导致数学学习障碍发生率的增高，以及特征多样和难以解释的结果。

数学语言是一种高级语言，是母语基础上的更为抽象的符号系统，对它的掌握是大脑皮层的高级部位活动的结果。尽管数学学习必须依赖视听器官、母语及注意力的参与，但本质上是皮层3个机能区且主要是皮层二级、三级机能区的工作结果。因此，数学学习障碍是一种“高级障碍”，是多级条件联系建立的障碍，本质就是皮层的二级、三级区损伤导致的逻辑或推理障碍。

3 数学学习障碍的脑机制

3.1 数学学习障碍的脑表现

2004年，有学者在采用假设的数字位置编码模型研究数字编码效应时，发现了“数字选择神经元”[5]。暂且不管数字神经元和数字排列是什么关系，如果这个研究结论成立，那就说明有的神经元具有数字记忆的特异性，进一步说明有专门的细胞或区域主管数字问题。

2003年，国外的报道显示，脑顶区是数加工的优势区域，特别是顶内沟，那里存在着3个顶内环路：一是脑顶内沟的水平部分，不受数字形式的限制，有任务就激活，在数量加工时激活增强，它是数量加工的主要激活部分;二是左角回联合左半球的外侧裂周区，这一区域支持言语数字形式的操作;三是双侧的后上顶叶系统，支持心理数字线的注意朝向操作，涉及到空间位置选择[5]，这个区域也涉及顺序任务或序列任务加工。

2012年的研究报告显示，计算障碍的顶叶脑流激活有异常。研究认为，计算障碍儿童的顶内沟、顶上叶、缘上回以及双侧前额背外侧的激活随着算术问题难度的增加而减弱[6]。这种减弱是由问题难度增加而引起不能解答，还是因为障碍而不能工作？这需要进一步研究，但肯定的是：计算任务的难度变化时，相关脑区的活动就出现异常，而这种异常往往是损伤带来的异常。

还有研究者对计算障碍者的双侧顶上叶、顶内沟、海马旁回的灰质密度进行了统计，结果发现它们的密度减小;同时，计算障碍者的梭状回、右侧颞前皮质的灰质密度也相对减小[6]。如果把密度减小看作是损伤的一种表现，那么此项研究结果就说明计算障碍儿童的这些区域有损伤。

上述研究支持了本文观点，真正的数学学习障碍是一种建立在大脑皮层的二级或三级机能区功能异常基础上的逻辑或推理障碍。这就是说，其障碍的部位应该在皮层的二级或三级区域。尽管未见对几何学习障碍者与脑区定位及损伤的研究，但因为几何的推理性更强，发生障碍更是由于脑区的二级、三级区损伤所致。当然，这种损伤是局部的、轻于脑瘫的损伤，否则就成为脑瘫;这种损伤应该不是全部脑区的损伤，否则就成为弱智或孤独症了;这种损伤也应该是一种非组织水平的损伤，或者是轻微的组织水平或严重的生化，即分子离子水平亦即代谢损伤，否则就不会出现“会与不会”“能与不能”的若隐若现的表现。

这里的局部损伤是相对于脑皮层的分工又合作的特点而言的。一个局部可能是一个小的系统，即小的皮层的联络区域，也可能是某个相对完整的点。无论是小的区域还是相对完整的点，都可能对整个皮层的分析综合带来障碍。反之，其他局部的损伤或障碍，也会导致数学学习障碍。由阅读障碍、感官型学习障碍和动力型学习障碍导致的数学学习障碍，就属于这种障碍，数学学习障碍仅仅是因为“加工原料”不足而出现的终端表现，数学本身不见得有障碍。

3.2 数学学习障碍的脑机制

由于对数学相关的脑机能定位研究开展得还不充分，本文尚不能对数学各个要素的脑机能定位进行系统论述。但是，就大脑皮层的特点——细胞分布特点和工作机制特点来看，数学学习障碍儿童的脑神经活动机制应该具有下列特点。

3.2.1 信息传导受阻

信息传导从感受器开始，到中枢，再到效应器都会有受阻的情况发生，这里主要是指在大脑皮层中传导时的受阻。就数学学习障碍而言，是局部受阻，主要是指大脑皮层的一、二、三级机能区之间，即从一级区到三级区或者从三级区到一级区的传导受阻。从脑流激活降低的表现来看，信息传导受阻是数学学习障碍的一个主要机制。

就目前的研究来看，如出生早期的脑外伤（包括摔伤等物理化学损伤）、出生时和出生前的缺氧等损伤，都可能带来这种传导受阻。当然，也有一种可能是，没有明显的器官或组织水平的损伤，但在离子分子水平上有损伤。值得庆幸的是，脑皮层是成熟最晚的器官，正如下文所述，如果皮层的成熟以髓鞘化为标志，儿童要到12岁才基本完成皮层的髓鞘化，那么就为人为干预数学学习障碍创造了脑机制的条件。

3.2.2 信息传导减弱

信息传导减弱是传导失能的一种表现。孤独症患者存在完全失能的情况，但就数学学习障碍而言，则主要是指信息到达皮层后，传导的能量降低，导致皮层形成相应的条件联系的能力降低，从而导致数学学习障碍。这种传导减弱可能是由皮层的组织损伤导致的，但更大的可能是因为分子离子水平或代谢异常导致的。先天的数学学习障碍，更可能由这个原因导致。比如，神经冲动发动后，在神经纤维或者细胞上的传导要靠离子通道的开关来控制，胞体之间的传导则靠递质来实现。无论是离子通道还是递质传导都离不开分子的化合与分解。像在K+离子通道中，K+离子的进出是靠K+与水的化合与分解完成的。K+脱水后才能进入孔道，K+与水上氧原子的结合在孔道内变为与羰基氧原子的结合。在低K+浓度时，羰基氧原子不再指向孔道，Gly77（一种化合物）的α-碳链向内扭曲阻塞孔道;在K +浓度高时，则孔道打开[7]。一旦这个正常的过程被某种病态打破，传导就受到影响，传导减弱也就发生了。

我们目前对学习障碍的成因所知甚少，较少在大脑器官的组织水平、更没有在生化水平展开成因的实证研究。但可以肯定的是，在数学学习障碍乃至一般学习障碍中，定有生化过程异常，即笔者所称的分子离子水平的损伤导致的，而这种类型在信息传导上的表现就是传导的减弱。

3.2.3 皮层的整合联系建立困难

皮层的整合联系建立困难主要表现在皮层的机能区之间的协同联系能力减弱，即联系的建立能力减弱，是一种信息的整合能力障碍。由于学习在本质上是神经系统——主要是皮层的神经系统的物质环路和震荡环路（对数学而言，则主要是数、量、空间形式及其关系的物质环路和震荡环路）的建立[4]。此处的物质环路就是通过摄入食物在数学信息的刺激下，形成神经细胞的突触之间的链接，是从无到有的过程。震荡环路则是在已有的神经细胞及其物质联系之间形成信息传导的通道，即电活动的通道，它不是建立新的物质路径，只是建立信息传导的路线[8]。

建立神经链接困难仅仅是表现，不是原因，原因还在于物质摄入、组织损伤导致的信息传导的受阻或减弱。如上所述，这和分子的合成与分解有密切的关系，也可能与未能形成学习习惯或者未掌握本学科的学习方法有关（如没有建立基本概念导致后续学习无法形成联系）。

4 数学学习障碍的干预

就發展障碍儿童而言，学习障碍是最易通过后天环境改变的一种障碍。就障碍的本质而言，本文所述的数学学习障碍又是各种学习障碍类别中最易改变的一种，因为它是由大脑皮层的损伤导致。大脑皮层离中枢的其他部位较远，是动物最晚形成的中枢。成熟晚，就为人为的干预创造了条件。所以维果茨基说，最高级的机能最可能被培养。教育界应该把工作重心从培养低级的机能转移到培养高级的心理机能上来[9]。

鲁利亚的一系列关于大脑皮层的研究给教育以及改善大脑皮层的机能提供了生物学的依据。例如，他认为儿童的大脑是自下而上和自后而前发育的。就大脑皮层而言，是从第一级机能区到第二级、再到第三级机能区渐次成熟的[10]。第一级皮质区的髓鞘化在儿童出生早期就结束了，但第二级和第三级皮质区的髓鞘化的过程则要延续很长的时期，在某些情况下，要延续到12岁[10]。因此，笔者曾经明确提出，通过各种方法比如感知肌能训练的方法，能够有效地由刺激皮质的一级机能区，而促进二级、三级机能区的发展，即促使儿童作为人的特质的发展[8]，就本文而言，则是促进数学技能的发展。

4.1 区别真假学习障碍

这里的区别真假学习障碍包括兩个层面的含义。一是指把与数学学习障碍完全没关系的假学习障碍区别出来。例如，把因没有掌握基本的数学知识的学生区别开来，比如还不懂得借位减法的法则（包括位的概念、借位、借位的规则等）而把“23-18”算成等于15，这样的学生基本上属于非学习障碍。二是把表现上似乎是数学学习障碍但实际上是一般学习障碍或者阅读障碍的情况区分出来。前文谈及的感官型、动力型学习障碍和阅读障碍都可能在表面上带来数学学习障碍的表现，但其根本是感官障碍、动力异常或者阅读障碍（当然不排除这3种障碍同时伴随数学学习障碍的情形），不属于本文的数学学习障碍范畴。只有清晰地区分真假学习障碍，才能使干预有的放矢。

至于如何区分真假数学学习障碍是另外一个庞大的话题，本文不加论述。这里只强调，在目前神经生理学、心理学的水平下，最好的区分方法是“作品分析法”，即根据学生的学科表现，用神经心理学的知识加以辨别。

4.2 数学学习障碍干预的3个内容

数学学习障碍的干预基本上分为3个内容或部分。

4.2.1 物质和医学干预

物质和医学干预是首先要考虑的，这主要是指从食物和医学角度进行干预。人首先是物质的，无论是脑发育还是神经活动，都需要物质摄入。但是，摄入的物质异常也会带来脑功能的异常。因此，一旦发现数学学习障碍，首先要进行一系列的检查，查明医学是否能够有干预措施，查明是否需要进行相应的食物治疗。

4.2.2 脑功能的特异化训练

脑功能的特异化训练是干预的第二个内容，主要是指进行相应的感知机能训练，以发展脑的功能，改进相应的缺陷。那些因为感官异常、动力异常而导致的假性或疑似数学学习障碍，最需要的就是这类特异化训练。当然，真正的数学学习障碍也需要以数学为素材或内容的感知肌能训练，但这种训练的专业性更强，本文不赘述。

4.2.3 针对数学学科开展训练

针对数学学科开展学科训练，是数学教师开展干预工作的主要方面。因此，本文仅就如何针对数学学科展开训练进行论述。

1） 数学知识与能力的训练

既然数学语言是更高级的二级语言，且皮层的一、二、三级机能区都可能传导减弱或受阻，那么就可以通过数学知识的熟练练习打通环路或建立环路，改变信息传导的减弱或者受阻。

首先是概念训练。数学的逻辑序列是由概念出发，熟记、理解和熟练应用概念不仅是数学学习之必须，也是促进建立皮层联系的必然，因此概念训练是干预数学学习障碍的第一步。其次是熟记法则和各种程式。法则包括公理、定理、公式等，程式包括言语模式（叙述方式）、数学程式、证明程式、解答程式等。这是建立儿童的脑内链接的基本素材，也是减少传导减弱或阻断的可能方法。当然，可以采用死记硬背的方法记忆，也可以采取练习、应用的方法记忆。

2） 数学思维训练

数学思维训练是干预数学学习障碍的重要策略，是建立皮层的数学联系的重要手段，一旦形成相应的思维模式，就建立了相应的神经联系。因此，它是改变皮层三级机能区（有时是二级区）的传导整合能力的一种机制。一般的数学教学过程中会有相应的数学思维训练，但数学学习障碍干预中的数学思维训练则是有意识地对数学学习障碍儿童开展的训练，主要包括下列几个方面的内容。

一是分解合并训练，即逻辑的建构与解构训练。比如前文提及的“因为A>B，B>C，所以A>C”就是一种逻辑建构训练;分析“小红今年8岁，小明比小红大两岁，小明今年几岁”中的各个要素，则是逻辑的解构过程;“凑十法”则是一个分解和合并的过程，即解构与建构的过程。

二是归纳与演绎训练。当然，归纳和演绎并不仅仅是数学的一种思维模式，而是我们认识世界的一种思维模式。我们不能因为学生年级低就不进行这种训练，归纳与演绎不论年级高低都可以进行。前述例子“N×10=N0”的过程就是一个典型的归纳与演绎的过程。先由几个数字乘以10，引导出结论，这是归纳;接着以具体数字乘以10，问结果，则是演绎。

三是由因索果和由果索因训练。训练学生根据条件，归纳、演绎结果是什么;同时，由结果寻找条件或原因是什么。在几何和代数中，这种思维模式经常被用到。

四是变式训练，这是数学作为思维的体操的最好体现之一。变式的完成是建立不同的神经链接的过程，包括对数学内容呈现方式的多种表述、问题解答方法的多样化、问题的多种表达等。如在问题呈现和问题解答的过程中，可以进行文字到符号、文字到图形，符号到文字、符号到图形，图形到文字、图形到符号的种种训练。

五是检验（验证）习惯训练。对于小学生而言，形成检验习惯是一个重要的与学业不良斗争的策略，也是反向建立联系、减少传导减弱或受阻及增强整合能力的重要手段。

[参考文献]

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[2] 张明亮，朱晓文，魏祥迁，等.数学学习障碍儿童的矫治方法[J].国际精神病学杂志，2010，37（4）：238-241.

[3] 刘全礼.学业不良儿童的特征与对策[M].天津：新蕾出版社，2009：129-130.

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[8] 刘全礼.智力落后儿童的特点与教育纲要[M].天津：天津教育出版社，2008.

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[10] 鲁利亚.神经心理学原理[M].汪青，邵郊，王甦，译.北京：科学出版社，1983.

（责任编辑  白丽媛）