王鹏远

急速飞奔的信息化社会

人工智能时代，技术的进步大大缩短了未来与现实的距离，深刻地改变着世界。人类社会从来没有像今天这样变化得如此迅猛，你进入校门或小区需要通过人脸识别，你的手机可以把语言自动转换成文字，远程医疗、机器翻译已经成为现实，自动驾驶正在试行，一些传统职业正在消失，而技术又催生一批新的职业。当今时代，科技的进步向社会的各个领域渗透，直接关系到百姓的日常生活，关系到国家的持续发展以及国家的竞争力和国家安全。这些深刻的变化是仅仅发生在近几年甚至是近几个月的事。社会上许多人已经感到很不适应，跟不上急速飞奔的时代列车了。

当前，中美之间围绕着5G的激烈竞争凸显了这一点。正处在风口浪尖的华为公司创始人任正非这么说：“用物理方法来解决问题已经趋近饱和，要重视数学方法的突起。”“华为5G标准来源于一篇数学论文，P30手机的照相机功能依赖于数学，如今华为每三个月换一代，主要是数学家的贡献。”

任正非为什么如此钟情于数学呢？在2020年3月北大副校长、中科院院士张平文的一次题为“应用数学的春天来了”的报告中谈到了华为：在华为的发展历史过程中，真正使得华为领先的因素中，数学起到很大作用。作为一个例子，张院士谈到了5G的基站部署时要求把4G、3G甚至2G的基站利用起来以节省开支，这里用了一个叫Single RAN的算法。这个算法原创于华为在俄罗斯的一个数学所，一个俄罗斯的数学家在这方面有一套原创的算法，使得华为部署基站时既能省钱，又能走在世界的前面。这个例子生动说明了当今数学的重要性，难怪任正非对数学如此钟情。当我们意识到数学面临严峻挑战的同时看到了数学发展的难得机遇，看到了数学的春天，企业创新的需求极大驱动了应用数学的发展。

下面的报道是触目惊心的，说明了当前我们人工智能人才的匮乏程度。

“截至2017年3月，全球人工智能行业从业人员达到190多万人。其中，美国有85万多人，高居榜首，中国仅有5万多人，排在第七位，落后于印度、英国和加拿大，与澳大利亚和法国相当。”很明显，这么大的人才缺口不可能倚仗国外的引进，只能靠我们自己培养。众所周知，教育是为未来储备人才的，数学与数学教育如此重要，可见数学教育责任重大。我们需要深思：当前我们也有像任正非那样的紧迫感吗？我们的数学教育为数学的春天做好变革的准备了吗？

数学，人工智能的基石

何谓人工智能（Artificial intelligence）？我国《人工智能标准化白皮书（2018年）》中给出了人工智能的定义：“人工智能是利用数字计算机或者由数字计算机控制的机器，模拟、延伸和扩展人类的智能，感知环境、获取知识并使用知识获得最佳结果的理论、方法、技术和应用系统。”简单地说，就是希望计算机能够像人类一样完成更多的智能工作，其表现形式包括会看（图像识别、文章识别）;会听（语音识别、机器翻译）;会说（语音合成、人机对话）;会动（机器人、无人机）;会写作（创作诗歌和小说）;会思考（人机对弈、定理证明、精准医疗），会学习等。

在2019年中国人工智能大会上，中科院院士、西安交通大学教授徐宗本在题为“AI与数学：融通共进”的主题报告上讲道：数学家眼里的人工智能当下主要指机器学习，人工智能的基石是数学，没有数学基础科学的支持，人工智能很难行稳至远。机器学习是把这种智能形式化为数学公式，转换成计算机可以操作的算法和软件。进一步说，人工智能实际上是一个将数学、算法理论和工程实践紧密结合的领域。将其扒开来看，就是算法，也就是数学、概率论、统计学等各种数学理论的体现。

机器学习（Machine Learning）是这样定义的：“如果一个程序可以在任务T上，随着经验E的增加，效果P也可以随之增加，则称这个程序可以从经验中学习”。以垃圾邮件分类问题为例，“一个程序”指的是机器学习算法，比如逻辑回归算法;“任务T”是指区分垃圾邮件的任务;“经验E”为已经区分过是否为垃圾邮件的历史邮件，在监督式机器学习问题中，这也被称之为训练数据;“效果P”为机器学习算法在区分是否为垃圾邮件任务上的正确率。同时，这里的“程序”和传统的程序有着很大的区别。传统的程序根据给定规则处理数据，从而获得期望结果;这里的“程序”则是根据给定数据以及目标结果获得两者之间的关系规则，进而可将学习得到的规则应用于新的数据中。

深度学习（Deep Learning）是机器学习最新发展的一个分支，实践中基本上可以认为深度学习就是深层神经网络的代名词。它除了可以学习特征和任务之间的关联外，还能自动从数据中提取更加复杂的特征，学习更加复杂的特征表达。当然，深度学习背后需要更多的数学支持。

以精准诊疗为例，这是深度学习的一个精彩例子。它是一种将个人基因、环境及生活习惯差异考虑在内的疾病预防与处置的新方法，用于精准诊断、精准治疗和有效预防上。

从精准医疗的生命科学、计算机技术和临床医学三个维度，可以看到数据与计算技术的重要性。在智能诊疗的应用中，IBM Watson是目前最成熟的案例，它可以在17秒內阅读3469本医学著作、248000篇论文、69种治疗方案、61540次试验数据、106000份临床报告。Watson实质上是融合了自然语言处理、认知技术、自动推理、机器学习、信息检索等技术，并给予假设认知和大规模的证据搜集、分析、评价的人工智能系统。据报道国内在这个领域的进展也在突飞猛进，以国内对外展现的CT肺结节智能检测引擎为例，对30名患者产生的近9000张CT影像进行智能检测和识别，只需要30分钟即可阅完，准确率达到90%以上。

汽车的自动驾驶是深度学习的又一个例子，其中涉及环境感知技术、导航定位技术和决策规划技术。环境感知技术负责观察路面环境，将图像快速传入计算机，决策规划技术相当于驾驶员的大脑，根据环境感知系统和导航定位系统提供的信息，及时给出主动驾驶的行为决策和路径规划。这一切也都离不开神经网络的数学模型和快速计算的算法支持。

信息化环境下的基础数学教育

下面谈谈对信息化环境下的基础数学教育的一些想法。这里谈几件事：一是重视基础，二是算法思想的渗透，三是应用意识的培养。

前面谈到“人工智能的基石是数学”，无论是机器学习还是深度学习都需要数学作为基础支撑，当然许多内容（如微积分、微分方程、最优化、贝叶斯公式）是大学才学到的，但中学数学无疑应该为后续学习打下坚实的基础，例如函数、概率统计。

以函数概念为例，可以加入计算机编程中的函数。

传统教材是通过实例引入变量与函数的，如汽车行驶的时间与路程的关系，电影院售出电影票的票价张数与票房收入的关系等。课本要求学生通过填表和列式，思考的共同问题是：能否通过一个含有x的式子表示y？继而对其数量关系进行抽象和概括，抽象出两个变量互相联系，当其中一个变量取定一个值时，对应另一个变量唯一确定的数值，从集合与对应的角度来解读函数概念。

函数概念可以用图1表达：输入集合A中的元素x，通过对应法则f的作用，输出集合B中唯一确定的y。于是x可以是一个数，y 是对应的一个数，f是某一个表示两者关系的含x 解析式;在数字化的环境下，这个图示还可以解读为x是一个数，y 是对应的一个数，f是某一个程序。

更一般地，还可以理解为：x是一个图片，f是某种算法，输出的是某一个语句。

过去给学生介绍分段函数显得生硬，现在可以在神经网络数学模型的背景下介绍，如图2所示。一方面增加学生学习的兴趣，另外还扩大了学生的视野，感受到函数在人工智能方面的应用。

关于算法，吴文俊院士有很好的阐述：“数学发展有两种思想：一种是公理化思想，另外一种是机械化思想。前者源于希腊，后者则贯穿整个中国古代数学，这两种思想对数学发展都曾起过重大的作用。我们的传统数学是算法化的，中国算法形式的数学更适合于计算机的数学。要让数学教育适应数字化社会，在注重逻辑推理能力的训练同时，还应该重视算法的渗透。在课程改革过程中，“算法”曾一度进入高中数学，但后来又去掉了。我们认为还是可以把“算法”渗透到数学教学中的，在培养学生逻辑思维的同时感悟算法的思想。下面举一例：“抻面中的数学”。

面包师把1尺长的生面条拉长成2尺，从中点切断，然后把右半段左移重合到左半段上，原来在生面条上距左端点的一粒黑芝麻移动到何处是唯一确定的。问：经过若干次抻面后黑芝麻落在何处？

首先建立抻面的数学模型，抻面的动作包括如下变换：拉伸和平移，设黑芝麻移动后位于距离左端点处，则这个变换可用分段函数表示：

运行这个程序，将发现一个很有趣的现象。芝麻粒的初始位置的微小变动将引起绝然不同的后果：芝麻粒或最后移到左端，或最后移到右端，或周期性的在幾个点之间反复跳跃，或杂乱无章的运动。

可渗透算法的例子很多。如这次新冠肺炎疫情初期，有的学校引导学生建立新冠肺炎的传染病模型，导出斐波那契数列，并编制小程序对未来疫情作出预测，取得很好的效果。这证明恰当地把“建模”和“算法”融入中学数学教学是可行的。

如何创设信息社会的数学教育，抓住机遇以应对挑战，是值得深入研究的课题。本文抛出一些不成熟的想法与同行探讨，敬请指正。

作者单位：北京大学附属中学