胡胜平

数学中倍的概念涉及两个量之间的比较，十分抽象，不易理解。教师在进行活动设计时，要尽量通过设计连续的情境，不断改变两个比较的量的数量，让学生在有趣的“变化”中进一步认识“倍”，在不断比较和抽象的过程中建立倍的概念。

割裂——目标单一，缺乏联系。学生在初步理解“倍”的概念并完成了一组基本巩固练习后，教师设计了两道练习题进行提升。第1题是给出5朵黄花，请学生猜一猜，如果要摆红花，并且黄花和红花的数量要有倍数关系，可以怎么摆。第2题则较为灵活，请学生画三角形和正方形，且正方形的个数是三角形的3倍，试图让学生感受标准量和比较量都在发生变化，但是它们之间的倍数关系是不变的。

第1题看似开放，但学生的思维水平并没有得到提升。第2题是确定三角形为标准量，只不过三角形具体的量可以有所变化，练习设计目标单一。这两道练习选用的材料是完全不同的，缺乏联系。

调整——实现整合对比。基于上述思考，我将练习情境进行了调整：给出4个三角形，请学生画圆形，使三角形和圆形之间有倍数关系。

在整合中，促使材料功能最大化。因为选用了数据“4”，学生既可以将“4个三角形”作为标准量，也可以将“4个三角形”作为比较量。学生作品呈现的种类会更加丰富，有利于加深对“倍”这一概念的理解。用一个材料解决两个问题，也使得整节课的版块更加清晰，目标更加明确。

在对比中，激发学生的认知冲突。在新情境的反馈过程中，我直接将学生各种有代表性的作品同时呈现。学生乍一看，会觉得以“4个三角形”为比较量的那些是错误的，且对“1倍”画法的作品产生疑问。这样集中、直观的呈现，会激发学生对“倍”这一概念进行更深入的思考。

在分类中，加深概念的本质理解。与之前逐一反馈不同，新情境下我大胆地请学生给这些作品进行分类。在分类的过程中，学生会直觀地根据圆形的数量和三角形的数量将它们分成三类：圆形比三角形多、圆形比三角形少、圆形和三角形同样多。但通过教师的适时追问，学生会发现其实只需要分成两类即可。当三角形和圆形数量相等时是一种比较特殊的情况，既可以说“圆形的个数是三角形的1倍”，也可以说“三角形的个数是圆形的1倍”。因此，可以将它归在这两类之间，渗透集合的思想。

拓展——在变化中真实感知。我采用新情境进行教学实践，与预设的一样，大部分学生以“4个三角形”为标准量画圆形。教师提示学生尽量画得跟别人不一样。

感受倍数的变化引起比较量的变化。在明确了以“4个三角形”为一份之后，教师追问：为什么同样都是把三角形看作1份，而圆形的数量却可以有很多变化呢？引发学生对倍数与比较量的思考。学生会发现，当倍数发生了变化，那么所画的圆形个数也会相应发生变化。“几倍”就是画同样的“几份”。

感受标准量的变化引起倍数的变化。开始，学生陷入了一种固定思维，认为圆形的数量一定会画得比三角形多，怎么可能比三角形少呢？因为选的标准量不同。此时教师再追问：为什么同样都是“4个三角形”，而和圆形的倍数关系却一直在变呢？这个时候引导学生观察可知：标准量可以发生变化，标准量的“量”也可以发生变化。

感受“1倍”的与众不同。首先，有部分学生还是不能理解“1倍”的意思。这时就请学生当小老师进行解释，将“4个三角形”看作1份，圆形也有这样的1份，所以圆形的个数是三角形的1倍。其次，有了比较的经验，学生举一反三，可以把“4个圆形”看作1份，三角形有这样的1份，所以三角形的个数是圆形的1倍。

（作者单位：浙江省杭州市文澜实验学校）

责任编辑：欧阳秀娟