江苏省南京市雨花台中学初一（9）班 杨恒一

线段和角是丰富的几何世界中最基本的常见图形，不同的线段（角）之间，蕴含着丰富的和差关系和倍数关系，而线段的中点和角的平分线则是有趣又实用的重点内容。在《学习与评价手册》的最后一页，有这样一题引起了我极大的兴趣，通过解题和进一步思考，我发现了线段中点和角平分线中存在很多一致的地方，就像有趣的“双胞胎”一样！

【题目（简化版）】

（1）已知线段AB=10 cm，在直线AB 上有一点C，点M、N 分别是线段AC 和BC 的中点，求线段MN 的长度；

（2）已知∠AOB=90°，若射线OC 在∠AOB 的内部，射线OM，ON 分别平分∠AOC 和∠BOC，求∠MON 的大小；若射线OC 在∠AOB 的外部，其余条件不变，再次计算∠MON 的大小，你发现了什么？

【解答（简化版）】

【思考与分析】

这两题一个求线段，一个求角，看似涉及的知识点不同，但细想之下发现，却有以下四点一致：

一、“源头”一致

“中点” 是将线段平分，“角平分线” 是将角平分。它们都是将一个大的总体分割成两个相等的小部分，本质都是在做平分。从概念这个“源头”来说，完全一致。

二、“结构”一致

问题（1）中，用到了MN=CM+CN 和MN=CM-CN；问题（2）中，用到了∠MON=∠COM+∠CON 和∠MON=∠COM-∠CON。对比两个结构，完全一致，都是利用两个部分相加或者相减，而这两个部分都是利用线段中点或角平分线的概念得出的“一半”。

三、“结论”一致

四、“思想”一致

两题都用到了“分类讨论”的思想方法，针对“形内”和“形外”分别构图讨论。第一题，求线段MN，给的条件是“直线AB 上有一点C”，“直线”二字就意味着点C 可以在线段AB 内部或外部延长线上。同学们经常容易思维定式，构图时忽略第二种。第二题，为了降低难度，分开提问，也是提醒同学们要注意两种情况。

同时，这两题都用到了“数形结合”，虽然是在探索线段的长度或者角的度数，但必须借助图形分析，离开图形谈数量分析，必然是不可靠的。掌握好这些思想方法，不仅仅对学好数学有很大的促进作用，甚至在分析很多生活中的问题时也很有用！

【延伸与拓展】

“线段中点”和“角平分线”都是对总体二等分，我们还可以将这种思想延伸到线段的三等分点与角的三等分线来进行改编和探索，是否也能利用同样的套路分析，得到类似的结果呢？

通过对比线段的中点和角平分线中的四点一致的探索以及进一步延伸与拓展，可以加深大家对这些知识的理解，能够更好地把握重点。类比这些“双胞胎”题的分析方法与套路，可以举一反三，锻炼我们的数学思维，提高我们的分析能力和探索能力！