纪定春

(四川师范大学数学科学学院 610068)

一、函数凹凸性及等价命题简介

定义设f是定义在区间I上的函数，若对I上的任意两点x1，x2和任意实数λ∈(0,1)总有f(λx1+(1-λ)x2)≤λf(x1)+(1-λ)f(x2)，则称f为I上的凸函数.

反之，如果总有f(λx1+(1-λ)x2)≥λf(x1)+(1-λ)f(x2)，则称f为I上的凹函数.

注意：为了便于识记，以下不妨将凸函数、凹函数分别称为下凸函数和上凸函数.

函数凹凸性的几个等价命题：

(1)当切线(一阶导数)在函数图象上方时，函数是上凸函数，反之为下凸函数；

(2)当一阶导数单调递减时，函数是上凸函数，反之为下凸函数；

(3)当二阶导数小于等于零时，函数为上凸函数，反之为下凸函数.这几种描述方式都是等价的，只是所站的角度不同，可参见文[2].

二、函数凹凸性在高考数学试题中的命题分析

函数的凹凸性作为描述连续函数局部性质的方法，不仅在高等数学中具有广泛而重要的应用价值，而且是高考数学的命题热点.在刻画函数的凹凸性时，可以利用一阶、二阶导数等，这就将函数的凹凸性与高中数学中的导数知识联系起来.近年来，为何以导数作为高考数学的压轴题呢？有三点猜测：其一是导数本身蕴含了丰富的数学思想，如分割思想、极限(逼近)思想、特殊与一般思想、局部与整体思想等；其二是导数是研究连续函数和离散变量的重要工具，如在连续函数中，求函数的最大值、最小值、极值、拐点等，在离散型变量中，如求数列通项、求和、求极限等.其三是高中导数与大学数学中的知识点交汇较多，可以为高考数学……