崔纯

摘要：构造函数法是高中数学解题的重要方法之一，本文力图通过三个例题介绍构造函数法在求最值、不等式、方程中的应用，恰当的构造函数往往能使解题过程化繁为简，起到事半功倍的效果。

关键词：构造函数;解题

在高中数学各分支形形色色的问题中，将非函数问题的条件或结论，通过观察、分析、抽象、恰当地构造出熟知的函数，再利用函数思想和方法使原问题获解，这是函数思想解题的高明之处。构造函数法解决一些非函数问题，也是近年来高考中的热点。如何构造辅助函数是关键，特别需要注意的是，构造时，要认真剖析问题，充分挖掘题设中隐含条件、开拓解题思路，促进思维迁移^[1]。

一、构造函数在求解最值问题中的应用

例1.（2017年全国高中数学联赛天津预赛试题）已知实数a、b满足|a|≤1，|a+b|≤1，求（a+1）（b+1）的最值。

解一道数学题，首先要进行观察，按常规方法很难奏效时，应该根据题设想办法把问题转化为另一个易于解决的问题。对于本题我们可以尝试通过构造函数的方法来求其最值。

解析：令t=a+b，则|t|≤1，且

（a+1）（b+1）=（a+1）（t-a+1）=（a+1）t-a²+1

构造函数f（t）=（a+1）t-a²+1，t∈[-1，1]

则f（t）是关于t的一次函数，其一次项系数a+1≥0，因此其最大值、最小值分别在t=1和t=-1时取到。

当t=1时，原式成为（a+1）（2-a），其最大值在a=时取得，[（a+1）（b+1）]_max=。

当t=-1时，原式成为（a+1）（-a），其最小值在a=1时取得，[（a+1）（b+1）]_min=-2。

因此，（a+1）（b+1）的最大值、最小值分别为和-2。

体会：对于线性约束条件下求非线性的最值问题，理性地选择好函数，是解决此类问题的切入点和着手点，然后利用函数求最值，使问题化繁为简。

二、构造函数在求解方程中的应用

例2.求方程x²⁰²⁰+3^x+3^-x=的解。

函数与方程之间有着密切的关系，通常可以用函数的观点来处理方程的问题，如解方程f（x）=0，就是求函数y=f（x）的零点。

解析： 显然x=1是方程的一个解，构造函数f（x）=x²⁰²⁰+3^x+3^-x，易证f（x）为偶函数。

下面探讨f（x）在（0，+∞）上的单调性，先考察在（0，+∞）上（除去1以外）f（x）=是否还有其他的解。因为g（x）=x²⁰²⁰在（0，+∞）上是增函数，只需考察h（x）=3^x+3^-x在（0，+∞）是否是增函数。

任取01