郑丽兵

[摘  要] 解题反思是解题领域中的一项重要内容，不仅关系到理解性学习的开展，而且关系到数学解题能力和解题技巧的及时提炼与总结，同时对学生思维灵活性和多向性的培养也具有非常重要的意义. 在解题后，学生需从题目特征、题目条件、解题过程、解题方法、解题错误和解题结论等角度着手，通过不断反思弥补知识的“不足”和思维的“欠缺”，从而实现教学的高效性. 文章对解题反思的具体路径进行探究.

[关键词] 解题反思;解题方法;解题错误;解题结论

所谓的“解题反思”，就是对解决问题过程的“再认识”，对知识形成过程的“再记忆”，对解题方法和技巧的“再思考”. 它可以帮助学生对解题过程实施深层次的再思考，有利于学生解题规律和解题技巧的及时总结和提炼，有助于学生思维灵活性和多向性的培养，对学生自身解题能力的提升具有非常重要的意义，从而实现了教学的高效化，并达到教学相长的目的.

高中生受认知水平的影响，呈现出对知识的不求甚解，尤其钟情于大量的习题练习，在解题过程中常常表现出思维策略的缺失，解题时不加思索地随性选择方法和策略，更不善于去进行题后反思和方法概括，忽视了提高解题能力的核心环节，从而导致了知识结构的系统性缺失. 因此，教师需针对性地培养学生的反思习惯，引导学生回顾和评价解题方法和过程，并对解题的结论进行验证，让学生在不断反思中弥补知识的“不足”以及思维的“欠缺”，从而实现思維的拓宽和优化. 那么，需要反思什么呢？笔者认为，可以从以下角度着手.

一思题目特征

在解题后，对题目所涉及知识进行反思，可以有效提升学生运用数学知识解决问题的能力;对题目中所涉及能力要求进行反思，可以强化对数学能力的再认识和再提升. 通过透过题目表象而进行的深入思考，可以深化学生对题目特征的本质认识，从而达到培养思维深刻性的目的.

例1：已知异面直线a和b所成角60°，定点P在空间内，那么过点P与a，b所成角都为60°的直线有且仅有（  ）

A. 1条  B. 2条

C. 3条 D. 4条

分析：从“异面直线所成角”的概念出发，本题可以过点P作a和b的平行线a′和b′，那么过点P的直线l和a′，b′所成角也就等价于直线l和a，b所成角.分析不难得出直线l和a′，b′所成角是60°的直线有3条，故本题选C. 从本题的特征着手，可以更替题设中的“60°”，并借助反思来引领学生的思维.

反思1：若将题设中的“过点P与a，b所成角都为60°的直线”中的“60°”改为“20°”，其余条件均不变，那么答案应是（  ）？摇

反思2：若将题设中的“过点P与a，b所成角都为60°的直线”中的“60°”改为“30°”，其余条件均不变，那么答案应是（  ）

反思3：若将题设中的“过点P与a，b所成角都为60°的直线”中的“60°”改为“45°”，其余条件均不变，那么答案应是（  ）

反思4：若将题设中的“过点P与a，b所成角都为60°的直线”中的“60°”改为“75°”，其余均条件不变，那么答案应是（  ）

反思5：若将题设中的“过点P与a，b所成角都为60°的直线”中的“60°”改为“90°”，其余条件均不变，那么答案应是（  ）

二思题目条件

在完善解题后，可以对题目的条件多方位地进行反思，从而开辟新的思维途径.数学知识间纵横交错，解题思路也是千变万化的，通过解题后对题目条件的深入反思，去探求一题多解，寻求最优解法;又或是实施变式题组，有效沟通知识，不断权衡解法的优劣，开辟新的解题思路，把握解题的规律，实现高层次上创造性学习的新路径.

例2：已知sin（α+β）=1，证明：sin（2α+β）=sinβ.

证明：因为sin（α+β）=1，则有α+β=2kπ+■，α=2kπ+■-β，sin（2α+β）=sin（4kπ+π-β）=sinβ.

反思1：据sin（α+β）=1，可得cos（α+β）=0，则有sin（2α+β）=sinαcos（α+β）+cosαsin（α+β）=cosα=cos[（α+β）-β]=cos（α+β）cosβ+sin（α+β）sinβ=sinβ.

反思2：据sin（α+β）=1，可得cos（α+β）=0，sin（2α+β）-sinβ=2cos（α+β）sinα=0，所以sin（2α+β）=sinβ.

例3：已知抛物线y2=2px（p>0），过顶点O作弦OA和OB，与抛物线交于点A，B，使得kOAkOB=-1，求证：直线AB过定点.

本题难度较小，学生解答起来问题不大，在成功解答后，可以进一步反思题设，并得出以下变式题组.

变式1：将原题中的“点O”变换为“过抛物线上任一点P（x0，y0）作两条相互垂直的弦PA和PB”，那么直线AB过定点吗？

变式2：将原题中的条件变换为“过抛物线顶点O作弦OA和OB，使得kOAkOB=m，且m为非零常数”，那么直线AB过定点吗？

变式3：一般化地将原题条件变换为“过抛物线上任一点P（x0，y0）作两条相互垂直的弦PA和PB，使得kOAkOB=m，且m为非零常数”，那么直线AB过定点吗？

三思解题过程

反思解题过程，也就是反思解题策略和思路，其内容有解题方法运用的优劣性以及解题过程中思维困顿之处，通过反思不断质疑、不断纠错、不断改进、不断完善，从而让解题过程最优化.

例4：设函数f（x）=a+■，g（x）=■x+1，当x∈[-4，0]时，有f（x）≤g（x）恒成立，试求出实数a的取值范围.

解：据f（x）≤g（x），可得a+■≤■x+1，将参数a分离，得出a≤-■+■x+1. 令h（x）=-■+■x+1，则有h′（x）=■+■.

令h′（x）=■+■=0，则有x1= -■（舍去）或x2=-■，当x∈-4，-■时，h′（x）<0;当x∈-■，0时，h′（x）>0.所以当x=-■时，h（x）取得最小值-5，a≤-5.

反思：通过反思此题的解题过程，发现a+■≤■x+1还可以转化为■≤■x+1-a. 设y1=■，y2=■x+1-a，如图1所示，函数y1的图像为半圆（x+2）2+y2=4（y≥0），函数y2的图像为斜率是■且纵截距是1-a的系列直线，经过分析不难得出半圆相切直线所对截距是6.又■≤■x+1-a恒成立，也就是说y2的图像在y1的上方，所以1-a≥6，所以a≤-5.

四思解题方法

解完一道题目后，还需不断反思学习的过程，总结和回顾自身的思维策略，并反思自身解题的方法，通过多层次、多角度和多方位的观察、思考和联想，找寻出解题的最优方法，并关注解题方法的归类和演变，最终实现灵活应用.

例5：求函数y=■+■的最大值.

解：设m=■，n=■，则有m+n=y=2×■. 由此可得，m，■，n成等差数列，若设公差d，则有m=■-d，n=■+d. 因为m2+2n2=5，所以■-d■+2■+d■=5，即3y2+4yd+12d2-20=0，则12d2+4yd+（3y2-20）=0.

关于d的二次方程有解，据Δ≥0，可得y2≤■，故ymax=■.

反思：以上解题方法中“m+n=y=2×■，可得m，■，n成等差数列”这一思路的形成难度较大.而将参数m与n引入后，则可以借助消元生成新的解题方法：

解：设m=■，n=■，有y=m+n，消除变量x，可得m2+2n2=5，再代入m=y-n，可得3n2-2yn+y2-5=0，关于n的二次方程有解，据Δ≥0，可得y2≤■，故ymax=■.

五思解题错误

学生在解题过程中由于知识层面的“缺陷”，或是能力上的欠缺，又或是受非智力因素的影响，可能会出现这样或那样的错误. 因此，教师需适时引导学生进行分析、反思、总结和整理，实现错误资源的再利用和再开发，以提升解析错误的能力，从而为正确解题思路指明方向，培养学生的批判思维能力及创新素质.

例6：已知函数y=log■（x2-mx-m）在区间-∞，-■上为增函数，试求出m的取值范圍.

错解：设y=log■t，t（x）=x2-mx-m，即为t（x）在区间-∞，-■上为减函数，而t（x）为二次函数，其图像对称轴的方程为x■=■，则有■≥-■，且Δ=m2+4m<0，可得m∈[-1，0）.

反思：形成以上错解的根源在于函数定义域的模糊，而显然题目中区间-∞，-■为定义域子集，则可以看出上述解答的不完整，还需增加t-■=-■■-m-■-m>0，即m<■，综上所述，m∈-1，■.

六思解题结论

解题后，应对结论进行再思考，培养自身思维的严谨性，并进行力所能及的推广和引申，实现知识的迁移，培养勇于猜想和验证的探究能力，激发创造新思维.

例7：已知等差数列{an}中，有a1>0，Sn是前n项的和，且S9=S17，当n的值为多少时，该数列{an}的前n项的和最大？

解：设等差数列{an}的公差是d，据S9=S17，得出a1=-■d，则有an=n-■d.因为a1>0，所以当an≥0;an+1<0时，该数列前n项的和最大，解得n∈■，■. 又n∈N*，所以n=13.

反思：以上解题方法中可以看出13刚好为9，17的算术平均数，据题意d<0，那么Sn则为n的二次函数，点（n，Sn）在开口向下的抛物线上，对称轴方程为n=13∈N*，所以n=13时，Sn最大.

总之，题后反思是很有必要的. 注重题后反思可以提升数学意识，可以有效培养优良的思维品质，可以促进“双基”的掌握，可以强化知识的正迁移，从而事半功倍地提升教学效益.