汪智源 (安徽省宣城市第二中学 242000)

一直以来，很多教师和学者片面地认为，教师的教学知识等同于学科知识.1986年，美国学者舒尔曼(Schulman)有针对性地提出了PCK概念，在学界产生了巨大反响，也引发了更多学者对教师教学知识的研究.密西根大学鲍尔(Ball)及其团队通过30多年的研究、实验，提出的MKT理论[1]是其中影响最大、最具代表性的理论．

MKT理论认为教师所需的知识分为两个部分：学科内容知识(Subject Matter Knowledge，简称SMK)和教学内容知识(Pedagogical Content Knowledge，简称PCK)．其中，SMK包括：一般内容知识(Common Content Knowledge，简称CCK)、专门内容知识(Specialized Content Knowledge，简称SCK)、水平内容知识(Horizon Content Knowledge，简称HCK)；PCK包括：内容与学生知识(Knowledge of Content and Students，简称KCS)、内容与教学知识(Knowledge of Content and Teaching，简称KCT)、内容与课程知识(Knowledge of Content and Curriculum，简称KCC)．

本文就从MKT的角度谈“平均变化率”的教学．

1 一般内容知识

一般内容知识(CCK)，是指受过数学教育的人所具有的数学知识和技能，如一些数学常识等．就本章而言，学生对微积分略有耳闻(听说可以用来求曲边梯形面积等)就是CCK；就本节而言，知道平均速度就是CCK，它是学生学习此节的最近发展区．学生以此作“平均膨胀率”和“平均变化率”概念上的正迁移是不困难的．

2 专门内容知识

专门内容知识(SCK)，是指教师为了完成教学任务所特有的数学知识．此方面知识涉及教学法，不是“纯数学”知识．

首先，教师的SCK包括：“学生为什么要学”“学生学什么”“学生怎么学”三个本源性问题，这是教师教学的出发点和落脚点．“学生为什么要学”要求教师能明确变化率问题的地位和作用，把握内容本质；能关注知识的上下位关系，要对微积分的创立过程有所了解(可以参看卡 尔·B·波耶的《微积分概念史》)；能区别本节内容的教学与以往章节教学的不同，能从不同的视角来解构本节乃至本章内容．如此，才能更好激发学生思维，培养学生的认知能力．反之，如果教学目标定位不明确，教师在教学实践中就会偏离教学中心．“学生学什么”，是将“平均变化率”作为“瞬时变化率”的基础，着重体现在“变化率”．“学生怎么学”，可具体参考有关KCT方面的介绍．如此，教师对一节课的必要性和重要性的把握才会有更准确和深刻的认识，上述三个本源性问题的解决才会更精准．

其次，教师的SCK还要求，面对“凝固”在数学知识里的数学思想方法，教师要准确地将其“析出”，并且通过“解压”，选择恰当、合适的方法，让学生能感知、理解和吸收．数学思想方法蕴含在数学概念和内容中，具有内隐的特点．对本节课，教师要重视“以直代曲、从特殊到一般”的思想方法这条“暗线”，在课堂教学中处理好“知识内容”的“明线”和“思想方法”的“暗线”，通过对概念和内容的分析，循序渐进地把知识传授给学生，把思想方法渗透给学生，一明一暗、相辅相成，发挥好数学的育人作用．部分教师在教学中容易忽视微积分思想方法的教学，误把精力聚焦于计算、符号表示等方面，如此则偏离了教学重心、舍本逐末，作为章起始课却没有为本章的教学搭好框架．

3 水平内容知识

水平内容知识(HCK)，是指一种具有系统性和全局性的知识，是同一数学内容在不同学段上的相关联系．从数学学科纵向看，“平均变化率”的思想在小学数学的应用问题中有所涉及，在初中数学阶段学生已经掌握“平均速度”等概念．作为章起始课，教师必须要“交代背景，构建好导数学习的蓝图”.[2]教师HCK的要求是针对整个章节的，甚至是关于整个函数系统的：数→代数→基本初等函数→微积分→实变函数→泛函分析等，教师应具有整体框架的意识．就本章而言，导数就是微积分皇冠上的一颗璀璨的明珠，是研究函数增减、变化快慢、最值等问题的最一般有效的工具，理解导数概念、把握导数概念所反映的思想和方法是学习微积分的重点．从导数概念的发展来看，变化率是一个重要的过渡性概念，对变化率概念意义的建构直接影响后续导数概念的学习，而平均变化率是其切入口．从其他学科横向看，物理学科对“平均速度”的介绍从初中延续到高中，学生很熟悉了．所以从横、纵两个方向看，对于“平均变化率”的概念，学生的最近发展区的知识是足够的，教师要把握好这一点．

4 内容与学生知识

内容与学生知识(KCS)，是指教师根据学生掌握的知识情况和思维的特点，矫正学生可能出现的错误，引导学生“数学地”思考问题、解决问题．这是内容与学生思维方式的两种知识的交织，我们常说的“备学生”就是指的这方面．简言之，就是“学生知道什么，不知道什么”“为什么”和“教师怎么办”三个方面的问题．

首先，关于“学生知道什么，不知道什么”的问题．“学生知道”的是：学生通过高一阶段的学习，对函数的理解更深了一个层次，且在物理学科中已学过平均速度、加速度等概念；“学生不知道”的是：(1)如何将“气球越来越难吹”这一实际问题抽象表述成数学问题；(2)旧的“平均速度”到新的“平均变化率”认知结构可辨别性问题；(3)“平均变化率”背后蕴含的数学思想方法．

其次，关于“为什么”的问题.学生已知方面的问题不再赘述；学生未知方面的问题：(1)“吹气球”问题，是对学生的数学抽象和数学建模方面的要求，需要教师在日常教学中有意识地逐步培养；(2)“新旧知识”问题，学生容易把本节新的知识“平均变化率”和“瞬时变化率”与相应的已学过的、物理上的“平均速度”和“瞬时速度”混为一谈，把注意的重心放在实际背景中而忽视了数学特征，产生是复习课的错觉；(3)“思想方法”问题，在一节数学课中让学生完整掌握数学思想方法的教学是不现实的．首先教师要对相关的数学思想、方法做到心中有数，其次掌握思想、方法是个潜移默化的过程，教师教学的方式是润物细无声地“渗透”；最后教师要做好教学反思，在日常教学中要根据学情不断地总结归纳，优化传授的手段．

最后，关于“教师怎么办”的问题.教师在学生的最近发展区内，从学生已有的知识框架内构建出新的知识.对于第1个“吹气球”问题和第2个“新旧知识”问题，教师要精心设计问题，引导学生从数学的角度思考问题，让学生区分出已知知识和本节知识；教师在教学设计时，要突出“变化快慢”这一本质数学属性，摒弃非数学性质的干扰.对于第3个“思想方法”问题，除了在教学过程中要设计好如何体现“以直代曲、从特殊到一般”等思想，在课堂上还要介绍一些微积分的发展史等方面的知识(具体可参考有关KCT方面的介绍)．

5 内容与课程知识

内容与课程知识(KCC)，是指关于教材编写方面的知识，如编写的框架结构和逻辑体系，及具体落实编写者意图的过程．从“导数的概念”单元设计角度，教材的安排是：函数平均变化率→瞬时速度，瞬时变化率→导数→曲线在一点处的切线．变化率的地位和作用是：将平均变化率作为过渡概念，为导数(瞬时变化率)的引入作辅垫，为后续的内容做知识、思想方法的准备．对于章起始课，教材的编写者希望教师能交代微积分背景、引入基本概念、构建微积分研究蓝图、描述微积分的内容框架及反映的思想方法，使学生明确微积分研究的“路线图”，让学生感受微积分概念的产生、发展的基本过程，体会研究微积分的基本套路．数学知识体系是一个完整的系统，学生数学认知结构的发展也是一个完整的过程.教师要基于数学知识系统、学生数学认知结构发展规律进行综合考虑，从单元的角度来设计一节课的教学活动.这就要求教师不仅要对教材体系有清晰的了解，对学生的认知规律、身心发展规律以及不同学生个体之间的认知差异等相关方面都要有一定程度的掌握.只有这两方面都把握住了，才能说教师的KCC是全面的．这也是很多一线高中数学教师需要学习、加强的方面．

6 内容与教学知识

内容与教学知识(KCT)，是教学内容与教学活动两方面的综合，涉及教学设计和课堂教学实践两个方面，主要是指不同教学手段、教学方法表征教学内容的利弊.在具体教学活动实施过程中，如何更好地处理好“预设和生成”的问题、面对课堂一些特殊情况教师的应对和处理等这些都涉及教师的KCT．

首先，KCT要求教师对教材进行二次开发，根据具体学情有针对性地设计教学，体现在：教学情境的创设、概念的呈现形式和不同的表征、引例的选择和引入时机、例题的选择、对教学环节的调整、如何有效地引发学生认知冲突以激发他们的求知欲和探索精神等．

作为微积分起始课，教师要抓住时机，介绍具有丰富文化底蕴的微积分发展史，通过具体的事例(力求一定的趣味性)，激发学生对微积分知识的好奇心和求知欲，让学生有感觉、有思考，从而让学生初步了解导数，感受其基本套路，接受数学文化的熏陶，体会其数学的价值．

在例题的选择上，加入了“气温”的例子，从日常生活现象入手，学生理解没有困难；问题2“高台跳水，求某个时间段内的平均速度”，学生熟悉，容易处理.分析此问题时，教师要揭示平均速度是指“谁”的变化率，让学生感受到变化率的意义——不同的时间段位移变化的不同．对于教材中“吹气球”引例，笔者建议改编成例题，原因是根据笔者经验，虽然学生明白这种现象，但要把“为什么气球越吹越难吹”的原因解释清楚很困难，最终笔者决定引导学生从平均膨胀率的角度来探究问题．从实际教学效果来看，达到了事先的预期，有利于教学目标的达成．

本节课的流程是：介绍微积分的发展史，引入“气温的例子”，提出“为什么12月23号感觉特别冷”的问题，引导学生从数学的角度思考日常生活中的现象；再引入教材中“高台跳水”的例子，强化从数学角度描述问题，并通过平均速度引出本节课的概念——平均变化率，让学生描述“吹气球问题”；通过“高台跳水”中平均速度为零，引导学生思考平均变化率只是分析问题的一个指标，且是有局限的，还需要其他的指标，为下一节课的瞬时变化率做准备．

其次，KCT是指教师教学目标的确定、教学重点难点的把握．教师要根据学情合理有效地进行教学，视具体情况及时有针对性地做调整．教师要设置恰当的问题、问题串和追问来驱动课堂教学，问题的设置要把握好“度”：太窄，没有思维的广度，对培养学生独立探究问题的能力不利；太宽，学生难以把握，达不到预设效果．教师要充分了解、利用好学生的最近发展区来开展后续的工作．教师要多引导学生按照正确的方向去思考、实践，把重点放在意义、概念的理解上，使学生学习的过程成为一次利用增长率模型建构平均变化率的程序型活动，而不是直接告诉学生解答的程序．教师要注意以下几个问题：首先，要把握本节内容不是让学生感受变化，而是让学生感受变化的快慢，而衡量快慢的指标就是变化率；其次，建立抽象概念时，教师要善于使用图象、图表等多种呈现方式帮助学生去建构；最后，教师要避免把重点从意义、概念的理解转到答案的正确性或完整性这些细枝末节上去．

课程改革的关键在于教师素质和能力的提升.对于数学教师的素质和能力的提升，MKT提出了一个很好的理论和操作标准．上述六个方面，特别是后五个方面，既给数学教师指明了提升的方向，又为数学教师的操作提供了一个很好的标准．数学教师应该以上述六个维度为出发点和落脚点，认认真真备好每一节课、上好每一节课、反思好每一节课，不断从各个维度来充实自己，提升自己，强大自己．

附：

简要教学设计

教学目标：通过实例，让学生经历函数平均变化率的大小表示函数变化的快慢过程，学会用数学符号、几何图形准确表示函数f(x)的平均变化率，来培养学生的数学抽象和数学建模等核心素养.

教学重点：平均变化率.

教学难点：如何让学生将实际问题抽象成数学问题.

教学过程：

1．微积分概念历史形成的简要介绍．

图1

2．第1个“气温图”例子有如下问题(图1)：

问题1 为什么23号感觉特别冷？

问题2.1 如何从数学的角度解释上述现象？

问题2.2 在“22日到23日”，大家普遍感觉“比较冷”，而在“5日到22日”却没有这样的感觉，这是什么原因呢?

问题2.3 怎样从数学的角度描述“气温变化的快慢程度”呢？

3．第2个“高台跳水”例子有如下问题：

问题4 运动员在每段时间内的速度是匀速的吗？

问题5 如何计算运动员在“0 s至0.5 s、1 s至2 s”这两段时间内的平均速度呢？

问题6 如何计算运动员从“t1到t2”这段时间内的平均速度呢？

问题7.1 上面两个生活实例有什么相同的地方？

问题7.2 能归纳出分析此类问题的一般方法吗？

问题8 假设每次吹入气球内的空气容量是相等的，如何从数学的角度解释“为什么气球越来越难吹”这一现象呢？