刘 畅，张 莉，乔 帅

(1.信阳职业技术学院 数学与计算机科学学院，河南 信阳 464000；2.兰州工业学院 基础学科部，甘肃 兰州 730050；3.兰州交通大学 数理学院，甘肃 兰州 730070)

神经元模型的建立目的是运用数学语言来表示神经元生理放电活动的过程，目前已经建立了各种简化的神经元模型[1]。1952年Hodgkin和Huxley对乌贼巨轴突的深入研究，从而建立了四维HH神经元模型；Chay模型是在HH神经元模型的基础上，通过数值仿真心肌细胞和胰岛细胞建立的；1982年Hindmarsh和Rose建立了Hindmarsh-Rose(HR)神经元模型，其主要作用是研究神经元的放电活动，因为HR神经元模型有着丰富的分岔行为，所以通过对其进行分岔分析有助于揭示神经元放电特性转变的内在机制。

近年来，电磁辐射对人体影响的研究已成为热点问题，因此深入研究电磁辐射对神经元的影响有着重要现实意义。文献[2]研究表明电磁辐射可以诱发神经元放电节律的迁移；文献[3]研究得出电磁场对耦合神经元放电活动的同步有着重要的影响；袁春华等[4-5]研究了Prescott神经元模型的放电特征，发现该神经元模型存在着丰富的分岔行为，并且基于Washout滤波器实现了Hopf分岔控制；此外，调查和研究发现电磁辐射可引起神经元相关的疾病，同时适当的电磁辐射对癫疯和抑郁症有治疗效果[6-7]。

以上研究主要侧重于各离子通道参数对神经元模型的分岔行为及其放电活动的影响，但在实际情况下神经细胞内外分布着各种带电离子，在外界电磁辐射下，因为各带电离子发生电磁感应效应从而使神经细胞膜电压改变，由此本文基于磁控忆阻器来刻画外界电磁场对HR神经元膜电压的影响，并对其进行动力学分析，发现分岔现象，研究结果为深入了解电磁场下神经元分岔结构及其放电活动提供有益的探讨。

1 模型描述

基于HR神经元模型，考虑外界电磁场对膜电位变化的影响，建立的改进HR神经元模型如下[1]：

(1)

式中：状态变量x,y,z分别表示神经元细胞膜电位、恢复变量相关的慢电流和自适应电流；φ表示在电磁场下穿过细胞膜的磁通量；I表示外界的刺激电流。本文中各常数取值为：α=0.1,β=0.02,k0=1.0,k1=0.9,k2=0.5,a=1.0,b=3.0,c=1.0,d=3.0,r=0.006,s=4.0,χ0=-1.61。

2 平衡点分布与分岔分析

神经元模型的放电特征与该模型平衡点的类型和稳定性相关[8]。在神经元模型(1)中，由于外界刺激电流的变化会引起系统平衡点的变化，从而神经元放电类型受外界刺激电流变化的影响。本文基于Matcont软件得出神经元模型(1)平衡点随外界刺激电流I的变化曲线如图1所示，图中的红星点表示分岔点H1,H2。通过数值计算得出在分岔点H1,H2处的外界刺激电流I与相应的平衡点及其特征根分别为：

图1 平衡点曲线与Hopf分岔点Fig.1 Equilibrium curve and Hopf bifurcation point

IH1=17.973 844,PH1=(1.678 764,-7.454 744,13.155 055,3.021 775),

IH2=6.201 042,PH2=(0.183 811,0.898 641,7.175 243,0.330 859)，

通过上述数值分析可知，神经元模型(1)在平衡点PH1,PH2处都有一对实部为零的共轭特征根，从而验证了神经元模型(1)在分岔点H1,H2处发生Hopf分岔。

3 Hopf分岔类型的判定与稳定性分析

令神经元模型(1)为X′=F(X)，其中

(2)

下面判定系统在Hopf分岔点H1的分岔类型[9-12]，此时外刺激电流为I=17.973 844，式(2)在平衡点PH1处的线性化矩阵为

将该系统的线性部分提出改写为

X′=F(X)=AX+G(X)

(3)

变换后的模型如下

(4)

稳定性指标ηH1表示为

(5)

分别计算式(5)各特征量如下：

从而可得ηH1=-0.008 602<0 ，同理神经元模型(1)在Hopf分岔点H2处的稳定性指标ηH2=1.373 214>0，由此可知模型(1)在分岔点H1发生的是超临界Hopf分岔，在分岔点H2发生亚临界Hopf分岔，其相应的状态变量x与y关于刺激电流I的分岔图如图2所示，图中绿色曲线表示稳定的平衡点，红色曲线表示不稳的平衡点，蓝色实(虚)闭曲线表示模型(1)在分岔点H1(H2)处产生的稳定(不稳定)的极限环，从而理论分析与数值仿真相一致。

4 数值仿真

为了探究神经元模型(1)发生超(亚)临界Hopf分岔对其放电特征的影响，本节数值仿真神经元模型(1)在Hopf分岔点H1,H2处的放电特征。

4.1 超临界数值仿真分析

(a) H1处的分岔图

(a)膜电压x的时间序列图

(a)膜电压x的时间序列图

4.2 亚临界数值仿真分析

(a)膜电压x的时间序列图

(a)相轨迹

5 结束语

本文运用理论分岔分析与数值仿真相结合的方法，主要探讨了电磁场下HR神经元模型的放电特性受Hopf分岔的影响。本文研究结果表明，电磁场下改进的HR神经元模型具有丰富的分岔行为和放电特征，理论分析得出该神经元模型具有超(亚)临界Hopf分岔。数值仿真表明当发生超临界Hopf分岔时，其放电特性由静息态变为稳定的周期放电状态；当发生亚临界Hopf分岔时，其放电特性由周期放电状态转变为静息态或者保持周期放电状态不变，这取决于该神经元模型的初始状态，即揭示了该系统具有隐藏动力学行为。上述结果为进一步研究电磁场对人体的影响和神经元相关疾病提供了探讨，并为定位隐藏吸引子提供了可行思路。