龙 芳

(江西省机械高级技工学校 基础课部，江西南昌 330013)

本文中，亚纯函数均指定义在复平面上的亚纯函数，且采用的记号为Nevanlinna理论的标准记号，其基本概念和详细定义可见参考文献[1-4].设f(z)是非常数的亚纯函数，我们用T(r,f),N(r,f)分别表示f的特征函数和极点计数函数，并定义f的增长级为

这里log表示对数运算.

我们用TD(f)表示函数f的所有超越方向对应的辐角值所构成的集合，不难看出TD(f)为[0，2π)的闭子集.显然，有理函数R(z)没有超越方向，且对于超越的f，TD(f+R)=TD(f).

在角域的值分布理论中有两类非常重要的奇异方向:Julia方向和Borel方向.射线argz=θ被称作函数f的Julia方向，如果对于任意给定的ε>0，f在角域Ω(θ,ε)={z:|argz-θ|<ε}中取任意复数值a无穷多次，至多有两个例外值.我们用Ω(r,θ,ε)表示角域Ω(θ,ε)和开圆盘{z:|z|

至多有两个例外值，那么我们称argz=θ为f的Borel方向.显然，Borel方向一定是Julia方向，但反之不成立.

Ostrowsi[5]曾构造了1个满足T(r,f)=O((logr)2),r→∞的超越亚纯函数，这个函数没有Julia方向.于是人们考虑Julia方向和Borel方向时，一般只考虑0<ρ(f)<∞的情形.对于有穷正级的亚纯函数，至少存在1条Borel方向，见文献[3]定理3.8.本文中，我们将讨论函数的Borel方向和超越方向之间的关系，得到了下面的结果.

定理1假设f为满足0<ρ(f)<∞的亚纯函数，则f的Borel方向必然也为其超越方向.特别地，如果f为整函数，argz=θ0为其Borel方向，则TD(f)中含有θ0的连通分支的Lebesgue测度至少为min{2π,π/ρ(f)}.

注1根据文献[3]，亚纯函数

有n条的Borel方向argz=2kπ/n(k=0,1,…,n-1)，其中Jα为第一类贝塞尔函数.从而由定理1，argz=2kπ/n(k=0,1,…,n-1)也是该函数的超越方向.

注意，对于有穷正级的整函数，其导数的Borel方向必然也是该函数的Borel方向.相应地，我们也将讨论函数与其导数的公共超越方向，得到了下面的定理.

定理2假设f为满足0<ρ(f)<∞的整函数，则TD(f′)⊆TD(f).

注2由定理2，对于有穷正级的整函数f，也有TD(f(k))⊆TD(f)，其中k为正整数.

下面介绍证明结论所需要的几个引理，其中引理3对于讨论Borel方向与超越方向的关系非常重要.引理3中，如果f为有穷正级的整函数，结论即为文献[6]引理1.这里，我们将利用Borel方向所决定的一系列充满圆来证明引理3.

引理1[7]假设亚纯函数f(z)具有增长级η<∞，则对于任意给定的ε>0，存在1个具有有穷线性测度的集合E，使得

|f(z)|≤exp{rη+ε}

在所有满足|z|∉[0,1]∪E的点z上成立.

引理2(Phragmén-Lindelöf定理) 假设f(z)在区域

D={z:α

内解析，并连续到边界C上.如果对于任意给定的ε>0，存在r1(ε)>0，使得在D内，当|z|≥r1(ε)时，

且在C上有|f(z)|≤M，则在D内有|f(z)|≤M，等号仅当f(z)为常数时成立.

注3引理2的具体表述来自文献[8]定理1.7和文献[9]引理1.15.

引理3假设亚纯函数f(z)具有0<ρ(f)=ρ<∞,G={z:argz∈(θ1,θ2)}为角域，其中|θ2-θ1|<π/ρ.如果G中有1条Borel方向，G的闭包不含f的极点，则射线argz=θi(i=1,2)中至少有1条满足下式(不失一般性，我们设为射线argz=θ2):

(1)

证 由条件可知，f在G的闭包上解析，且ρ<ρ0=π/(θ0-θ1)，同时令argz=θ0为f在G中的Borel方向.利用反正法来证明.假设式(1)在两条射线argz=θi(i=1,2)上均不成立，则存在正数ρ1<ρ，使得

|f(reiθ)|≤exp{rρ1}θ=θ1,θ2.

利用引理1，可知存在ρ0>ρ及线性测度有限的集合E，使得当|z|=r∉E时有

(2)

根据最大模原理，在整个角域G上都成立式(2).令θ*=(θ1+θ2)/2，容易看出

在两条射线argz=θ1,θ2上都成立.取正整数b，使得

对函数

φ(z)=f(z)exp{-be-iρ1θ*zρ1}

应用引理2，则存在正数M，满足

|f(reiθ)|≤Mexp{brρ1},z=reiθ∈G.

|f(cj),∞|=(1+|f(cj)|2)-1/2≤4exp{-|zj|ρ2},

其中ρ1<ρ2<ρ.这意味着

|f(cj)|≥4-1exp{|zj|ρ2},

与式(3)相抵触.综上所述，式(1)必然在两条射线argz=θ1,θ2之一上成立.

logdens{r:A(r)>(cos πα)B(r)}≥1-ρ/α.

注4对于集合H⊂(1,∞)，它的下对数密度定义为

其中χH(t)为集合H的特征函数，

为H的对数测度.

引理5[11]假设f(z)为超越亚纯函数，具有有穷级ρ，ε>0为给定的常数，则存在1个对数测度有穷的集合H⊂(1,∞)，使得对于所有满足|z|∉H∪[0,1]的点z，有

引理6[2]假设F(r)和G(r)是(0,∞)的非减函数.如果当r∈H∪[0,1,]时，F(r)≤G(r)，其中H⊂(1,∞)为对数测度有限的集合，则对于任意常数α>1，存在r0>0，当r>r0时，有F(r)≤G(αr).

定理1的证明我们将分两种情形证明Borel方向argz=θ0必然为超越方向.

情形1存在角域G={z:argz∈(θ1,θ2)}使得θ0∈(θ1,θ2),|θ2-θ1|<π/ρ(f),且f在G的闭包上没有极点.

根据引理2，不失一般性，存在射线argz=θ2，使得式(1)成立，这意味着argz=θ2为f的超越方向.显然，对于任意满足0

情形2不存在情形1中的角域G，这意味着必然有1个f的极点列{zn}，使得

事实上，如果没有这样的一列极点，则所有极点的辐角减去θ0后取绝对值将有下界ε0，从而Ω(θ0,ε0)不含f的极点.取角域Ω(θ0,ε)，其中张角2ε足夠小，滿足

2ε

就找到了情形1中的角域G，而这是不可能的.我们断言此时argz=θ0就是1条超越方向.如若不然，则存在正数ε0,R0,K，使得对于所有属于Ω(θ0,ε0)∩{z:|z|>R0}的点z，都有

|f(z)|≤rK.

(4)

注意到当n充分大后，极点zn∈Ω(θ0,ε0)∩{z:|z|>R0}，这与式(4)相矛盾，所以argz=θ0为f的超越方向.

下面对f为整函数的情形，讨论集合TD(f)的连通分支，这些分支为至多可数个区间，有些分支可能退化为1个点.设包含θ0的连通分支为U，接下来我们讨论U的Lebesgue测度.当ρ(f)=ρ<1/2时，取α满足ρ<α<1/2，此时cos(πα)>0.根据引理4，存在具有正的下对数密度的集合H，使得对于r∈H，有

A(r)>cos(πα)B(r).

这意味着，对于任意的|z|=r∈H，利用f的超越性可知

由此可得TD(f)=[0,2π)，故U=[0,2π).显然，它的Lebesgue测度不小于min{2π,π/ρ(f)}.

接下来，当ρ(f)≥1/2时，注意到min{2π,π/ρ(f)}=π/ρ(f)，我们将采用反证法证明U的Lebesgue测度至少为π/ρ(f).如若不然，必有U的Lebesgue测度小于2π.我们总能在U外找到θ1,θ2∉TD(f)，使得

θ1<θ0<θ2, |θ1-θ2|<π/ρ(f).

既然θ1,θ2不是超越方向，则存在正的r0,A,k，使得对于点z=reiθ成立

|f(reiθ)|≤Ark,

其中:r≥r0;θ=θ1或θ2.利用引理2，我们得到角域{z:argz∈(θ1,θ2)}上成立

|f(z)|≤M|z|kM>A.

注意到argz=θ0是整函数f的Borel方向，式(5)与引理3的结论相矛盾.从而ρ(f)≥1/2时，U的Lebesgue测度不小于min{2π,π/ρ(f)}.

综上所述，定理1的结论得证.

定理2的证明对于任意给定的θ0∈TD(f′)，利用反证法证明θ0∈TD(f).假设θ0∉TD(f)，则存在正数ε0,K，使得

|f(z)|≤rK

(6)

(7)

结合式(6)和(7)，不难看出

(8)

M(r)≤rK+ρ(f)r∉H.

显然M(r)和F(r)∶=rK+ρ(f)是(0，∞)的单调增函数，利用引理6可知对于α>1，存在r0>0，使得|z|=r>r0，于是有

|f′(z)|≤M(r)≤F(αr)=αK+ρ(f)rK+ρ(f).

这与已知argz=θ0为f′的超越方向相矛盾！从而θ0∈TD(f)，故TD(f′)⊆TD(f)，定理2得证.