何东林， 樊 亮

(陇南师范高等专科学校数信学院, 甘肃 陇南 742500)

引 言

1 定义和引理

设x是一个左R-模类,y是一个右R-模类，M为任意左R-模。

定义1[12]称M是Gorenstein (x,y)-平坦模，如果存在左R-模正合列

X:…→X1→X0→X0→X1→…，

用GF(x,y)表示所有Gorenstein (x,y)-平坦模组成的类。

例1(1)对任意X∈x，有X∈GF(x,y)。

(2)正合列X的每个核、像及余核均是Gorenstein (x,y)-平坦模。

(3)如果x是平坦左R-模类F(R)，y是内射右R-模类I(R)，则Gorenstein (x,y)-平坦模就是Gorenstein-平坦模。

(4)如果x是平坦左R-模类F(R)，那么Gorenstein (x,y)-平坦模与Gorensteiny-平坦模一致。

引理1[12]设GF(x,y)关于扩张封闭，则以下条件等价：

定义2[12]称(x,y)是一个对偶对，如果满足以下条件：

(1)X∈x当且仅当X+∈y，其中X+=HomR(X,Q/Z)。

(2)y关于直和因子和有限直和封闭。

进而，称对偶对(x,y)是完备的，如果R∈x且x关于扩张及直和因子封闭。

引理2[14]如果(x,y)是一个完全对偶对，那么F(R)⊆x且I(R)⊆y。

例2(1)(Fn,In)是一个完备对偶对，其中Fn是平坦维数不超过n的左R-模组成的类，In是平坦维数不超过n的右R-模组成的类。

(2) (Fn,FIn)是一个完备对偶对，其中Fn是FP-内射维数不超过n的右R-模组成的类。

(1)M是Gorenstein (x,y)-平坦模。

0→M→X0→X1→…，其中Xi∈x。

(3)存在左R-模正合列0→M→X→G→0，其中X∈x且G∈GF(x,y)。

引理4设w是x的余生成子且v是y的生成子,x和y关于扩张封闭，0→M′→M→M″→0是R-模正合列，则以下说法成立：

证明由文献[12]中命题3.1易证。

2 主要结果

命题2设(x,y)是一个完全对偶对，则以下条件等价：

(i)M是Gorenstein (x,y)-平坦模。

0→M→X0→X1→…，其中Xi∈x。

(v)存在左R-模正合列0→M→X′→G′→0，其中X′∈x且G′∈GF(x,y)。

证明(i)⟺(ii)⟺(v)由引理3易证。

(i)⟹(iv)设M是Gorenstein (x,y)-平坦模，则由定义1知存在左R-模正合列

(1)

定理1设(x,y)是一个完全对偶对，(ε):0→U→V→W→0是左R-模正合列，则

(i)如果U,W∈GF(x,y)，那么V∈GF(x,y)。

(iii)如果V,W∈GF(x,y)，那么U∈GF(x,y)。

证明(i)设U,W∈GF(x,y)。因为GF(x,y)是投射可解的，由文献[12]中命题2.12知，GF(x,y)关于扩张封闭，所以V∈GF(x,y)。

(iii)设V,W∈GF(x,y)。由V是Gorenstein (x,y)-平坦模及命题2可知，存在正合列0→G→X→V→0，其中X∈x且G∈GF(x,y)。构造拉回图，如图1所示。

图1 U→V与X→V的拉回图