带测度权Dirichlet空间上的复合算子

2020-09-02邱志云曹广福

四川轻化工大学学报(自然科学版) 2020年4期

邱志云，曹广福

(华南农业大学数学与信息学院，广州 510642)

引言

在算子理论的一些基本问题中，解析函数论的相关方法起到了决定性作用，相反地，算子理论也成为探索函数空间的重要工具，这在研究单复变和多复变的本质差异中起到了巨大作用。正是在解析函数论和算子理论的相互发展与碰撞中，复合算子开始进入人们的视线中。由于各函数空间的特征不尽相同，因此，在复合算子的研究中，其有界性和紧性的判定成为众人的首选，相关理论结果有很多而且较为深刻[1]。作为数学研究中的一种常用运算，函数的复合在算子理论中起到了重要作用，在1960年前后开始使用。1987年是复合算子进入热点的时间节点，以Shapiro等人为代表，国内外广大数学工作者对复合算子的有界性、紧性和可逆性等性质的研究热情不断。在1981年以前，大部分关于复合算子的研究是基于单个复合算子的，此后逐渐把函数空间上的所有(有界)复合算子看成一个拓扑空间进行研究，里面的算子也有了范数。

近些年来，复合算子的发展，使得数学中许多重要部分得到了深刻的理解，这也是研究各种空间上复合算子的意义所在[2-4]。复合算子的可逆性、紧性、有界性以及Fredholm性一直受到关注[5-6]。如Bloch空间上的微分复合算子差分的有界性及紧性[7]、广义Fock空间之间的Volterra型复合算子的有界性及其本性范数[8]以及其他空间上的复合算子的可逆性[9-11]等。对连通域上的Bergman空间对可逆和Fredholm复合算子的刻画[12-13]也是复合算子研究的重要成果。随后人们对可乘复合算子的Fredholm性[14]也进行了研究，得出了较为有趣的结果。

Dirichlet空间是与Hardy空间平行的解析函数空间，其函数结构理论很多都依赖于Hardy空间中相应的理论基础[15-16]。在对Dirichlet空间上复合算子的研究中，大多限定在单位圆盘上，也有很多瞩目的成果，本文将其推广到一般域上以及带测度权上，使其复合算子的性质更具有一般性。

令D是C(复平面)上的开单位圆盘，dA表示D上正规化的Lebesgue测度。Dirichlet空间D是由D上具有有限Dirichlet积分的解析函数f构成，使得

在此定义下, D不仅是一个赋范线性空间，而且是一个再生核Hilbert空间，其内积表示为

D的再生核为

令Ω表示C上的连通域，dμ表示Ω上的非负测度。带测度权Dirichlet空间Dμ是由Ω上具有有限Dirichlet积分的解析函数f(z)构成，使得

显然，这里的权与单位圆盘上的权有所不同，更具有一般性。

令M和N表示C(复平面)中两个开、连通、非空子集，简单称它们为域。令L2(M)表示M上有定义的，且相对于M上的测度可平方积分的复值可测函数空间。M的带测度权Dirichlet空间用Dμ(M)表示，它由M所有解析函数构成，满足

用∂M表示M的拓扑边界。点λ∈∂M叫做相对Dμ(M)可去的，如果存在λ的一个的开邻域V，使得对于Dμ(M)上所有函数f，其导数f′皆可解析延拓到M∪V上。用∂μ-rM表示∂M中所有相对于Dμ(M)可去的点组成的集合。用∂μ-eM表示M的Dirichlet本质边界，即∂M中非相对Dμ(M)可去点的集合，因此有

∂μ-eM=∂M-∂μ-rM

本文研究得出了带测度权Dirichlet空间中复合算子的可逆性和Fredholm性质。

1 复合算子的可逆性

定义1令μ是M上一有限正测度。μ被称为M上的Carleson型测度，如果存在常数C>0, 对于任意f∈L2(M,dμ), 有

显然，μ是Carleson型测度当且仅当存在正常数C，使得对于M的任意子集E，有

μ(E)≤CA(E)

其中，A(E)是E的勒贝格测度。

命题1假设M和N表示C中的域，并且ρ是一个从M到N的解析映射，使得dμ∘ρ-1是Carleson型测度。那么Cρ是从Dμ(N)到Dμ(M)的有界算子。

证明由等式

和Carleson型测度的定义，很容易看出Cρ是有界的。

引理1[17]对于C中的任何域G，∂rG的面积测度为零。

定理1假设M和N是C中的域，并且ρ是一个从M到N的非恒定解析映射，使得dμ∘ρ-1和dμ∘ρ都是Carleson型测度。那么Cρ是从Dμ(N)到Dμ(M)的可逆算子当且仅当以下两个条件同时成立：

(1)ρ是单射的。

(2)N-ρ(M)⊂∂μ-r(ρM)。

证明首先证明定理1的必要性。假设Cρ是从Dμ(N)到Dμ(M)的可逆算子，若条件(1)不成立，即若ρ不是单射，则存在z1,z2∈M且z1≠z2，使得ρ(z1)=ρ(z2)。Dμ(M)和Dμ(N)的再生核分别用KM和KN表示。任何符号的复合算子的共轭作用在再生核上，有

对于∀ω∈ρ(M)，很容易有(Cρh)(ρ-1ω)=g(ω)，进而h(ω)=g(ω)。因此，Dμ(ρ(M))中的每一个函数延拓到Dμ(N)中的一个函数。这就证明了条件(2)。

这就完成了定理1的证明。

推论1假设M和N是C中的域，并且ρ是一个从M到N的解析映射，使得∂μ-r(ρM)=φ。若dμ∘ρ-1和dμ∘ρ均为Carleson型测度，则Cρ是从Dμ(N)到Dμ(M)的可逆算子，当且仅当ρ可逆。

Cρf1=f1∘ρ=g1∈Dμ(M)

因此ρ是可逆的。

接着证明其充分性。由于ρ可逆，逆为ρ-1，那么对任意λ∈N-ρ(M)，有ρ-1λ∈M。因为ρ(ρ-1λ)∈ρ(M)，则λ∈ρ(M)，所以N-ρ(M)⊂∂μ-r(ρM)，于是N-ρ(M)=φ，所以M和N的点就一一对应了，因此M和N上的函数也就一一对应了，则Cρ是从Dμ(N)到Dμ(M)的可逆算子。

这就证明了推论1。

从前面的论述可知，如果ρ是单位圆盘D在复平面C上的解析自映射，则Cρ始终是Dirichlet空间或Hardy空间上的有界线性算子，并且Cρ是可逆的，当且仅当ρ可逆。通过定理1，可以看出复合算子的可逆性不等于其符号在复平面中的可逆性。但是，如果域的拓扑边界不包括任何可去点，则复合算子的可逆性就等同于其符号的可逆性。