周 平, 黄卫华

(文山学院数学与工程学院， 云南 文山 663099)

引 言

李艳艳等在文献[16]中给出如下结果：

以上两个估计式计算量大，当矩阵阶数很大时，计算困难，从而寻找简单易行的估计式是非常有必要的。关于D-ZB-矩阵的线性互补问题解的误差界估计问题，通过查阅相关文献目前没有相应的研究结果。

本文在前人研究的工作基础上进一步研究了该问题，得到了仅依赖于D-Z矩阵和D-ZB-矩阵元素的新估计式，且给出了D-ZB-矩阵最小奇异值的新结果，应用例子验证了这些新获得的估计式的有效性和优越性，提高了估计的精度。

1 预备知识

为了便于后文的研究，先给出如下记号：

N={1,2,…,n}，Cn×n(Rn×n)是全体n×n阶复(实)矩阵构成的集合。

设A=(aij)∈Cn×n，M=(mij)∈Cn×n，记

定义1[1]设A=(aij)∈Rn×n，q∈Rn，寻找解x∈Rn，使得

(Ax+q)Tx=0，Ax+q≥0，x≥0

则该问题称为线性互补问题，记作LCP(A,q)。

定义3[4]设A=(aij)∈Cn×n，如果∀i∈N,存在j∈N={1,2,…,n}，j≠i,使得

那么A叫做Dashnic-Zusmanovich矩阵，常记作D-Z矩阵。

定义4[4]设M=(mij)∈Rn×n，将M表示成M=B++C的形式，其中

(1)

引理1[8]设A=(aij)∈Cn×n，它是P-矩阵，则LCP(A,q)的解存在且唯一。

引理2[8]设M是P-矩阵，x*和x分别是LCP(M,q)的精确解和近似解，则

其中：r(x)=min{x,Mx+q}，表示取向量x和Mx+q对应分量的最小值；x*表示LCP(M,q)的解；D=diag(d1,d2,…,dn),0≤di≤1。

引理3[8]设M是D-Z矩阵，则M是P-矩阵。

引理4[9]若γ>0,η≥0，则对任意的x∈[0,1]，有

且

引理5[7]设A=(aij)∈Cn×n为D-Z矩阵，则

引理6[7]设M=(mij)∈Cn×n为D-Z矩阵，且mii>0，如果B=I-D+DM，其中I是n阶单位矩阵,D=diag(di),0≤di≤1,i=1,2,…,n，那么B是D-Z矩阵。

2 主要结果

下面应用前文给出的相关定义和引理，并结合几个不等式的放缩技术，对D-Z矩阵和D-ZB-矩阵线性互补问题解的误差界进行研究，并结合引理5给出了D-ZB-矩阵的最小奇异值新下界。

其中：

ψi,j(M)=

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

应用式(2)～式(6)，得

ψi,j(M)

即

故有

定理2设M=(mij)∈Cn×n是D-ZB-矩阵，将M表示成M=B++C的形式，其中B+与式(1)定义相同，……