基于响应面法和重要性抽样的杆塔掏挖基础抗拔可靠性分析

2020-08-27周佳成丁士君李镜培杨文智

结构工程师 2020年3期

周佳成丁士君李镜培，* 杨文智

（1.同济大学地下建筑与工程系，上海200092；2.北京工业大学建筑工程学院，北京100124；3.中国电力科学研究院有限公司，北京100055）

0 引言

杆塔掏挖基础是利用机械或人工在天然土中直接挖（钻）成所需要的基坑，将钢筋骨架和混凝土直接浇注于基坑内而成型的杆塔基础，如图1所示。杆塔掏挖基础由于弃土弃渣少、水土流失量少、对环境影响小等优点被广泛应用于山区丘陵中地质条件较好的地区。

杆塔基础作为输电杆塔的直接支撑，其可靠性直接关系到整个输电线路的安全，但现行的杆塔基础设计规范只是将工民建规范中的分项系数直接套用过来，未作系统的分析工作［1］。实际上杆塔基础的控制工况多为上拔工况，而工民建基础的控制工况多为下压工况；此外，前者是由活载起控制作用，而后者通常是由恒载起控制作用，这表现在前者的荷载效应比ρ（活载效应标准值/恒载效应标准值）为3.3～8.3［2］，后者的荷载效应比为0.2～1。因此，直接套用工民建规范是不合适的。

图1 掏挖基础模型及剖面图Fig.1 Model and section of excavated foundation

国际上对杆塔基础可靠性的研究可追溯至上世纪九十年代，且已形成较为系统的分项系数设计法。 DiGioia 和 Rojas-Gonzalez［3-4］基于 RBD 法（Reliability-Based Design）分析了杆塔基础的可靠性，得到了总荷载分项系数和总抗力分项系数。Phoon 等［5-7］结合输电线路基础的特性，基于校准法提出了多分项系数设计法。我国对于杆塔基础可靠性研究起步较晚，相关研究成果较少，鲁先龙等［8-9］、徐彬等［10］、张子富等［11］做了一些有益的尝试，但仍不能满足分项系数设计法的需要。由于国内掏挖基础可靠性研究成果较少，本文借鉴了岩土工程中扩展式浅基础可靠性的研究方法。谢妍等［12］考虑了承载力极限状态和正常使用极限状态下浅基础的可靠性问题，分析了各影响因素的敏感性；邵克博等［13］基于子集模拟提出了一种浅基础扩展可靠性研究方法，同时编制了相应的计算程序；张亚楠等［14］采用方差折减法对扩展式浅基础可靠性进行了研究，得到的结果偏保守。翟明洋［15］采用随机响应面法分析了三层岩土边坡和含软弱结构面岩质边坡稳定可靠度问题；程晔等［16］研究了响应面法和重要性抽样法在岩土工程可靠性分析中的应用；姚贝贝等［17］基于响应面法和重要性抽样法对隧道衬砌的时变可靠度进行了研究。

当考虑岩土参数的变异性时，杆塔基础抗拔极限承载力限状态方程是极其复杂且高度非线性的，为此本文采用二次响应面法（RSM）和重要性抽样（IS）方法进行可靠度分析。近几年，这两种方法作为一种组合得到了越来越多的应用，响应面法计算简单，而重要性抽样法效率较高且结果精确，两者相结合对可靠性问题的分析研究将更加全面准确和快速高效。

1 剪切法抗拔极限状态方程

对于原状土基础而言，其抗拔承载力可按照《架空输电线路基础设计技术规程》（DL/T 5219—2014）［18］中的“剪切法”进行计算。

1.1 剪切法抗拔极限承载力

本文考虑浅基础破坏情形（基础埋深ht≤抗拔临界深度hc），计算简图如图2 所示，圆弧滑动面形状参数与基础深径比λ（基础深度ht/基底直径D）和土的性质有关。抗拔承载力由三部分组成：基础自重Gf、圆弧滑动面以上土的重度Gs和圆弧滑动面上剪应力的竖向分量Tv。

图2 剪切法计算上拔承载力Fig.2 Calculation of uplift bearing capacity by shearing method

从而按剪切法确定的掏挖基础极限抗拔承载力理论值为

式中：γ，V0分别为基础重度和体积；γs，c分别为土的加权平均重度和加权平均黏聚力；A1，A2，A3为无因次计算参数，与滑动面形状参数、内摩擦角φ和基础深径比λ有关，具体公式较冗长，可参考文献［18］附录D，限于篇幅此处不作展开。

需要指出的是，抗拔极限承载力受到水平力和基底扩展角影响，因此文献［18］给出了水平力影响系数γE和基底扩展角影响系数γθ。此外，剪切法计算值和原位试验值仍存在差异，故采用试计比λT（计算值/试验值）来考虑计算模式的不确定性。综合上述因素，掏挖基础极限抗拔承载力修正值为

1.2 剪切法抗拔极限状态方程

极限状态方程的一般形式为

式中：R为抗力效应，对于本文研究的问题而言即为式（2）；S为荷载效应，可分为恒载效应和活载效应。

杆塔结构所受的活载有风荷载、覆冰荷载、导线张力荷载等，传递到基础上的活载效应也是这几种活载导致的。根据线路运行实际经验和杆塔设计要求，在线路运行的某一时刻，一般只有一种活载起控制作用。而杆塔多属于高耸结构，特别是近几年发展起来的特高压输电杆塔，大风荷载是最主要的活载［19］。因此本文基于“恒载SG+风载SW”这一荷载效应组合，建立如下极限状态方程：

式（4）中所有参数可分为四类：

第一类是基础参数，包括基础重度γ、基础体积V0、基础埋深ht、基底直径D、深径比λ，这些变量变异性很小，可视为常量。

第二类是岩土参数，包括土重度γs和抗剪指标c，φ，由于土重度γs变异性较小，仅将c，φ视为随机变量。

第三类是荷载参数，包括恒载效应SG、风载效应SW，均视为随机变量。

第四类无量纲参数，包括λT，γE，γθ，A1，A2，A3。对于特定的工程问题，γE，γθ为常量；A1，A2，A3与基础参数和内摩擦角φ有关，其中基础参数为常量，从而A1，A2，A3的变异性是由φ的变异性造成的，故不将A1，A2，A3视为新变量；试计比λT表征计算模式的不确定性，视为随机变量。

综上，式（4）中共有5 个基本随机变量，分别为试计比λT，抗剪指标c，φ，荷载效应SG，SW。

2 基本随机变量的统计特性

在进行可靠性分析之前，需要研究基本随机变量的统计特性，下文将逐一给出式（4）中基本变量的统计参数。

2.1 试计比λT

鲁先龙等［9］通过分析大量的掏挖基础抗拔试验数据，得到试计比λT服从对数正态分布，其统计参数因土性而异，详见表1。

表1 λT的统计参数［9］Table 1 Statistical parameter of λT

2.2 荷载效应SG，SW

根据《建筑结构设计统一标准》（GBJ 68—84）［20］，恒载G服从正态分布，风载服从极值 I 型分布，相应的统计参数见表2，表中GK，WK为恒载和风载的标准值。

将荷载与荷载效应近似按线性关系考虑，从而恒载效应SG服从正态分布，均值为1.060SGK，变异系数为0.070；风载效应SW服从极值I 型分布，均值为 1.109SWK，变异系数为 0.193。SGK，SWK为恒载效应和风载效应的标准值，根据工程实际情况按照相应的规范计算得到。

表2 荷载统计参数Table 2 Statistical parameters of the load

2.3 抗剪指标c,φ

抗剪强度指标具有自相关性和互相关性，描述自相关性可采用Vanmarcke［21-22］提出的随机场模型，描述互相关性则可利用互相关系数［23］。

1）自相关性

随机场局部平均理论是描述岩土参数自相关性的常用手段。对于抗剪指标c，φ，可认为其在水平方向一定范围内变化不大，而沿深度方向变化较大［25］，因此可以用一维随机场来描述其空间变异性。以黏聚力c为例，它在深度方向的空间均值为

式中：ch(t)还可以理解为黏聚力加权平均值，这与式（4）中基本变量c的含义一致；t为计算起始位置；h为计算深度；c(t)是计算深度范围内各点的黏聚力，为一维平稳随机场。

对于特定的工程问题，它们都是确定的，因此ch(t)为一随机变量，它的均值和方差为

式中，μc，σc为点均值和点方差；Γ2(h)为方差折减系数，Vanmarcke［21］建议按下式确定：

式中，δ0为相关距离。

以上分析是对于单一的或性质相近的土层而言。对于多层土，设土层数为n，相应土层编号为1，2，…，n。对于土层i(i≤n)，相关距离为δ0i，一般δ0i＜hi；黏聚力空间均值为chi(t)，由式（6）、式（7）求得其均值和方差分别为μi，σi2δ0i/hi，字母含义与上文一致。则n层土黏聚力的加权平均值为

方便起见，将c′称为计算黏聚力，其意义与式（4）中基本变量c一致。同理，c′仍为随机变量，其均值和方差为

Lacasse 等［26］和李镜培等［27］的研究表明，c，φ均服从正态分布，因此式（5）中c(t)为一维平稳正态随机场，由数理统计理论，计算黏聚力c′也服从正态分布。从而在得到抗剪指标的点概率特性后，由式（5）-式（11），便得式（4）中基本变量概率c，φ概率特性。

2）互相关性

抗剪指标c，φ存在较强的互相关性，其相关系数多在-0.6～-0.8 之间［24］。虽然这里的相关系数是针对某一点的统计特性而言，严格上与计算抗剪指标c′，φ′的相关系数并不一致。但计算两个随机场之间的互相关系数较为复杂，为简便起见，认为这两者的相关系数是相同的。

3 响应面法

响应面法（RSM）是通过构造一个曲面来模拟真实曲面，该曲面称为响应面，按精度可分为一次响应面法和二次响应面法，后者精度高于前者。一次响应面法是采用平面模拟极限状态曲面，二次响应面法采用二次曲面模拟极限状态曲面。

为减少抽样样本点个数，在应用二次响应面法采用标准型形式，即

式中，Xi为基本变量；n为基本变量个数；a0，ai，bi为待定参数，共2n+1 个，因此需要2n+1 个抽样点。

目前应用较多的抽样方法是中心复合抽样，具体做法为：先选定抽样中心点坐标(x1，…，xi，…，xn)，然后按 (x1，…，xi±fσi，…，xn)选取 2n个点。其中，σi为基本变量Xi的标准差；f为抽样参数。理想的抽样中心点应该是验算点，但事先验算点并不清楚，因此需要迭代计算。f在第一次迭代时可取2n/4，在之后迭代中取前一次的平方根。

将抽样点坐标代入功能函数，便可得到2n+1个功能函数值，联立式（13）便可求得待定参数，从而得到功能函数的简单显示表达式，然后结合JC法求解。由于不论是中心复合抽样还是JC 法都要涉及大量的迭代，本文采用自行编制的MATLAB程序计算，具体的迭代过程如下：

（1）确定第1 次抽样的中心点坐标x(1)，可取均值点

（2）计算抽样参数f值，按中心复合抽样法抽取2n+1个样本点。

（3）将样本点代入功能函数Z=g(x)，得到2n+1 个函数值，联立式（13）求得待定参数，得到功能函数的简单显示表达式Z=G(x)。

（4）利用JC 法求解可靠度指标β()k和验算点坐标x*(k)，该法较为常见，限于篇幅，迭代过程不作展开。

这样取点是为了包含更多原极限状态面的信息。

（6）重复步骤（2）-（5），直至满足收敛条件。

4 重要性抽样(IS)

蒙特卡罗法在可靠性分析中应用极广，常用来检验其他可靠度计算方法的精度。它基于大数定律，首先产生基本变量的随机样本，然后代入功能函数，再统计失效区功能函数的数量，从而估计失效概率的一种方法。对于常规的工程问题，Ma［26］建议抽样次数取

式中，Pf为预估的失效概率，或为其他可靠度计算方法得到的失效概率。

本文通过响应面法试算得到掏挖基础抗拔失效概率约为10-5，由式（20）可知至少要进行107次抽样方能满足常规工程需要，而这往往是很难实现的，为此本文采用重要性抽样技巧。

Shinozuka［27］是最早将重要性抽样引入到可靠度计算的学者之一，其基本思想是：构造新的抽样函数p(X)代替原抽样函数f(X)，从而改变抽样中心，使样本点有较多机会落入失效区，增加功能函数Z＜0的机会，提高抽样效率。p(X)的构造方法有很多，理想的p(X)应该与|f(X)|呈正比，但这往往是难以实现的。为简单起见，本文采用Harbitz［28］提出的中心正态抽样法：选择n维正态分布密度函数作为抽样函数，将抽样中心放在验算点处，即以验算点和原基本变量的方差作为抽样函数的均值和方差，这是应用最多的重要性抽样方法之一。

5 算例

某悬垂型混凝土杆塔基础，如图3 所示，基础参数如下：埋深3 m；主柱高度2 m，直径1 m，露头0.2 m；圆台高度1 m，基底展开角为45°；底板直径3 m，厚度0.2 m。

图3 计算简图Fig.3 Calculation diagram

土层参数如下：基础埋深范围内为两层硬塑黏土，自上而下记为土层1、土层2，土层1厚度2 m，土层2厚度5 m，无地下水和软弱下卧层。两层黏土的抗剪指标统计参数见表3，相关系数为-0.7。

表3 抗剪指标的统计参数Table 3 Statistical parameters of shear index

5个基本变量统计参数的确定方法如下：

（1）基本变量λT：根据表1选取（黏土）；

（2）基本变量c，φ：根据表3 和随机场理论求解其均值和变异系数，同时取相关系数为-0.7；

（3）基本变量SG，SW：结合算例条件，选取合适的SG，SW。

综上，得到5 个基本变量的统计参数，见表4。

表4 基本变量的统计参数Table 4 Statistical parameters of basic variable

采用自行编制的二次响应面法MATLAB 程序对算例进行计算，收敛精度取ε=10-3。经过6次迭代，二次响应面法收敛，得到可靠度指标β=3.866 5，迭代过程见表5。

由表5 可知，二次响应面法迭代收敛得很快，可见其在杆塔掏挖基础抗拔可靠性分析中的优势。将最终的验算点坐标代入重要性抽样MATLAB 程序，求解可靠度指标以及相应的变异系数。需要指出的是，对相同抽样次数进行多次试验，可靠度指标和变异系数计算结果并不相同，这是由重要性抽样自身的变异性和用p^f代替pf求解变异系数导致的。为此，本文对各种抽样次数分别进行了20 次独立试验，取平均值作为该抽样次数下的代表值，并计算了与响应面法计算结果的相对误差，详见表6。

表5 响应面法的迭代过程Table 5 Iteration process of RSM

表6 重要性抽样的计算结果Table 6 Calculation results of IS

由表6计算结果可得出以下几点结论：

（1）响应面法的计算结果与精确解相当。当抽样次数达到100 000次时，重要性抽样的变异系数仅为0.013，因此可认为此时的可靠度指标3.865 5 为精确解。与响应面法的计算结果相比，相对误差只有2×10-4，这对于工程问题已经相当精确。

（2）重要性抽样的效率显著。本例的失效概率约为10-5，若采用常规蒙特卡罗方法，由式（19）可知，达到变异系数为0.1 这一精度需要模拟107次；而达到变异系数为0.01 这一精度则需要模拟109次。相比之下，重要性抽样只需模拟约106次便可达到变异系数为0.01这一精度。

（3）采用中心正态抽样法是可行的。由于多维正态分布函数并不是最优的抽样函数，可能会影响到重要性抽样的抽样效率。由表6 可知，当抽样次数仅为500 次时，其可靠度指标计算值与精确解只差约1%，效率并不差。

6 抗拔基础可靠性影响因素分析

基本变量的变异性、荷载效应比及安全系数对杆塔掏挖基础的可靠度指标均有影响，下文将分别研究。

6.1 可靠度指标与基本变量的变异性

式（4）中，试计比λT和荷载效应SG，SW的变异系数是确定的，而抗剪指标c，φ对于不同的场地变异性有差异。为此，仍以上述算例为背景，分别改变c，φ变异系数，使其在0.1～0.45 变化，分析可靠度指标的变化情况，详见图4。

图4 抗剪指标的敏感性Fig.4 Sensitivity of shear indicators

由图4 可知，随着抗剪指标变异系数的增加，可靠度指标减小，并且c的敏感性显著大于φ的敏感性。因此在工程勘察时，需要重点关注黏聚力变异系数的正确性，防止其对可靠度指标造成较大影响。

6.2 可靠度指标与荷载效应比

前面提及可靠度指标β与荷载效应比ρ有关，杆塔基础的荷载效应比范围为3.3～8.3。仍以算例为背景，保证其他基本变量的统计特性均不变，仅改变荷载效应比，由文献［18］的设计方法反算出荷载效应SG，SW，见表7，这样可以分析当前规范的可靠度水准。

利用二次响应面法计算可靠度指标，结果见图5。由图5 可知，一方面，随着荷载效应比的增加，可靠度指标降低，这是活载的变异系数大于恒载的变异系数导致的；另一方面，随着荷载效应比的增加，可靠度指标减小的趋势变缓，可以预测，随着荷载效应比的逐渐增大，可靠度指标将趋于稳定。

表7 不同荷载效应比条件下的荷载效应Table 7 Load effect under different load effect ratios

图5 不同荷载效应比条件下的可靠度指标Fig.5 Reliability index under different load effect ratio conditions

6.3 可靠度指标与安全系数

文献［18］虽然采用以基于概率理论的分项系数设计法，但由其条文说明3.0.16 可以看出，其中基础附加分项系数γf是按照《架空输电线路设计技术规程》（SDJ 3—1979）换算的，并未做系统的可靠度分析工作。鲁先龙［9］在修订文献［18］时，比较了安全系数设计法与分项系数设计法的联系，给出了安全系数与分项系数的关系式：

式中，γf为基础附加分项系数，其余字母含义与上文一致。γf，γE，γθ的取值和杆塔类型、水平力与上拔力比值以及基底扩展角有关，由文献［18］得到不同工况下安全系数，见表8。

由表8 可知，安全系数的最小值为2.48，最大值为5.76。考虑到γE的取值范围为0.75～1，故可研究安全系数在2.3～5.8 之间变化时可靠度指标的变化情况。为此，仍以本算例为依据，将安全系数每次增加0.5，保持基本变量λT，c，φ统计参数以及荷载效应比ρ=4 不变，结合文献［18］反算出SG，SW，见表9。

此外，γθ与γf，γE的不同之处在于，γf，γE的取值不会影响其他基本变量取值，但γθ的取值取决于基底展开角，基底展开角与一些计算参数如基底直径，基础体积存在关系。为此，算例中特意取基底展开角为临界值45°，此时γθ=1；若要考虑γθ=1.2 的情况，只需将基底展开角增大很小的角度，如变为46°，这对基础尺寸的影响是微小的，仍可按照原基础尺寸进行计算，从而减少了不必要的麻烦。计算结果见图6。